Elementi di Euclide

Prop.8: Se un numero è le stesse parti di un numero, quelle che un numero sottratto è di un numero sottratto, anche il restante è le stesse parti del restante come il totale del totale

Dimostrazione

Sia il numero AB le stesse parti del numero CD quelle che AE sottratto è di CF sottratto: dico che anche il restante EB è le stesse parti del restante FD quelle che AB totale e di CD totale.

Si prenda GH uguale ad AB. Pertanto AE è le stesse parti di CF quelle che GH è di CD.

Si divida GH nelle parti di CD, cioè GK e KH, e si divida AE nelle parti di CF, cioè AL e LE. Allora la molteplicità di GK e KH è uguale alla molteplicità di AL e LE. E poiché AL è la stessa parte di CF quella che GK è di CD, e CD è maggiore di CF, allora anche GK è maggiore di AL.

Si prenda GM uguale ad AL. Allora GK è la stessa parte di CD quella che GM è di CF. Il restante MK è quindi la stessa parte del restante FD quella che GK totale è di CD totale (Prop.7-7). Di nuovo, poiché EL è la stessa parte di CF quella che KH è di CD, e CD è maggiore di CF, allora anche HK è maggiore di EL.

Si prenda KN uguale a EL. KN è quindi la stessa parte di CF, quella che KH è di CD. Il restante NH è quindi la stessa parte del restante FD, quella che KH totale è di CD totale (Prop.7-7). Ma il retante MK è stato dimostrato essere la stessa parte del restante FD, quella che GK totale è di CD totale; la somma di MK e NH è quindi le stesse parti di DF quella che HG totale è di CD totale.

Ma la somma di MK e NH è uguale a EB, e HG è uguale a BA, il restante EB è quindi le stesse parti del restante FD, quella che AB totale è di CD totale.

Se un numero è quindi le stesse parti di un numero, quelle che un numero sottratto è di un numero sottratto, anche il restante è le stesse parti del restante come il totale del totale.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna due rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti AB e CE sulle due diverse rette
• Punto: segna un punto E interno ad AB
• Circonferenza di dato raggio: individua il punto F su CD tale che CF = CDxAE/AB e il segmento CG= EBxCF/AE

In notazione algebrica:

se \(a = (\frac{m}{n})b\) e \(d = (\frac{m}{n})e\) allora \(a+d = (\frac{m}{n})(b+e)\)

Questa proposizione è utilizzata nella (Prop.7-11).