Elementi di Euclide

Prop.16: Nel cerchio dato inscrivere un pentadecagono sia equilatero che equiangolo

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABCD: nel cerchio ABCD si deve pertanto inscrivere un pentadecagono sia equlatero che equiangolo.

Si inscriva un lato AC di un triangolo equilatero (Prop.4-2) e un lato AB di un pentagono equilatero nel cerchio ABCD (Prop.4-11). Pertanto, dei segmenti uguali dei quali ve ne sono quindici nel cerchio ABCD, cinque saranno nell'arco ABC che è un terzo del cerchio, e tre nell'arco AB che è un quinto del cerchio. Pertanto nel restante BC ve ne saranno due di segmenti uguali.

Si sechi a metà BC in E (Prop.3-30). Ognuno degli archi BE e EC è quindi un quindicesimo del cerchio ABCD.

Se quindi si congiungono BE e EC e si adattano rette uguali ad esse nel cerchio ABCD senza soluzione di continuità, risulterà inscritto in esso un pentadecagono che è sia equilatero che equiangolo.

E similmente al caso del pentagono, se per i punti delle divisioni sul cerchio si tracciano tangenti al cerchio, risulterà circoscritto attorno al cerchio un pentadecagono sia equilatero che equiangolo. E ancora, con dimostraazioni simili a quelle del pentagono, nel pentadecagono dato sia si inscriverà che circoscriverà un cerchio.

Nel cerchio dato risulta quindi inscritto un pentadecagono sia equilatero che equiangolo.

La costruzione con GeoGebra:

• La costruzione con Geogebra non riproduce pienamente quella che richiama le costruzioni precedenti:
• Poligono Regolare: disegna il pentagono regolare di lato AB
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta al pentagono
• Centro: trova il centro della circonferenza
• Circonferenza: disegna la circonferenza con centro nel punto A e raggio uguale alla prima circonferenza; le due circonferenze si intersecano in due punti di cui uno è C, due vertici del triangolo equilatero
• Poligono Regolare: disegna il triangolo equilatero di lato AC
• Simmetria per un punto: disegna il simmetrico del triangolo equilatero rispetto al centro della circonferenza data
• Segmento: disegna la corda BC
• Asse segmento: disegna l'asse della corda BC che interseca l'arco BC in E
• Poligono regolare: disegna il pentadecagono di lato BE

L'arco AC è 1/3 del cerchio, poiché A e B sono due dei tre vertici del triangolo equilatero. L'arco AC è 1/5 del cerchio, poiché A e C sono due punti adiacenti del pentagono regolare. La differenza quindi dei due archi, AC – AB, che è l'arco BC è 1/3 –1/5 del cerchio, cioè i 2/15. Bisecando tale arco si ottiene una corda che è 1/15 del cerchio.