LIBRO VI
Prop.9: Sottrarre la parte prescritta dalla retta data
Dimostrazione
Sia AB la retta data: si deve pertanto sottrarre da AB una parte prescritta.
Sia la terza parte quella prescritta.
Si conduca la retta AC oltre da A (Prop.1-3) che comprende con AB un angolo come capita. Si prenda come capita un punto D su AC, e si pongano DE e EC uguali a AD. Si congiunga BC, e si conduca DF per D parallela ad essa (Prop.1-31).
E poiché DF è parallelo al lato CB del triangolo ABC, in proporzione è quindi, AD sta a DC come AF sta a FB (Prop.6-2).
Ma DC è doppio di AD, anche FB è quindi doppio di AF, pertanto AB è triplo di AF.
Risulta quindi sottratta la prescritta terza parte AF dalla retta data AB.
La costruzione con GeoGebra:
- Semiretta: disegna le semirette AB e AC di origine comune A, formanti un angolo qualsiasi
- Segmento: tracciare su AC un segmento AD
- Circonferenza di raggio dato: disegna le circonferenze di centro D e raggio AD, che interseca la semiretta in E e la circonferenza di centro E e raggio AD che interseca in C
- Segmento: congiungi B con C
- Parallela: traccia la parallela a BC per D che interseca la semiretta AB in F
Il termine parte qui utilizzato sta per sottomultiplo. Il problema posto è quello di dividere una linea in un dato numero di parti uguali. Euclide tratta qui il caso n = 3.
Questa costruzione è usata nel Libro XIII.