INTRODUZIONE AL LIBRO IV

Il Libro III contiene 11 definizioni e 37 proposizioni e tratta la teoria dei cerchi.

Questi Libro è collegato al Libro primo, perchè ne applica numerosi teoremi. Un legame è presente anche con il Libro II, di cui applica la V e la VI proposizione e crea numerose premesse per le costruzioni del libro IV.

Significativa è la prop. 16, che dimostra che tra la retta tangente e la circonferenza di un cerchio non può esservi alcuna retta uscente dal punto di contatto. Ciò determina che l'angolo compreso ta la circonferenza e la tangente è sempre minore di qualsiasi angolo acuto rettilineo.

DEFINIZIONI

  • Def. 1: Una figura rettilinea è detta essere inscritta in una figura rettilinea, quando ciascuno degli angoli della figura inscritta tocca ciascun lato di quella in cui è inscritta.
  • Def. 2: E similmente una figura è detta essere circosccritta intorno a una figura, quando ciascun lato di quella circoscritta tocca ciascun angolo di quella intorno a cui è circoscritta.
  • Def. 3: Una figura rettilinea è detta essere inscritta in un cerchio quando ciascun angolo di quella inscritta tocca la circonferenza del cerchio.
  • Def. 4: E una figura rettilinea è detta essere circoscritta intorno a un cerchio quando ciascun lato di quella circoscritta è tangente alla circonferenza del cerchio.
  • Def. 5: E similmente un cerchio è detto essere inscritto in una figura quando la circonferenza del cerchio tocca ciascun lato di quella in cui è inscritto.
  • Def. 6: E un cerchio è detto essere circoscritto intorno a una figura quando la circonferenza del cerchio tocca ciascun angolo di quella intorno a cui è circoscritto.
  • Def. 7: Una retta è detta essere adattata in un cerchio quando i suoi estremi sono sulla circonferenza del cerchio.

PROPOSIZIONI

  • Prop. 1: Nel cerchio dato adattare una retta uguale alla retta data, che non è maggiore del diametro del cerchio.
  • Prop. 2: Nel cerchio dato inscrivere un triangolo equiangolo al triangolo dato.
  • Prop. 3: Intorno al cerchio dato circoscrivere un triangolo equiangolo al triangolo dato.
  • Prop. 4: Nel triangolo dato inscrivere un cerchio.
  • Prop. 5: Intorno al triangolo circoscrivere un cerchio.
  • Prop. 6: Nel cerchio dato inscrivere un quadrato.
  • Prop. 7: Intorno al cerchio dato circoscrivere un quadrato.
  • Prop. 8: Nel quadrato dato inscrivere un cerchio.
  • Prop. 9: Intorno al quadrato dato circoscrivere un cerchio.
  • Prop. 10: Costruire un triangolo isoscele che ha ognuno degli angoli alla base doppio del restante.
  • Prop. 11: Nel cerchio dato inscrivere un pentagono sia equilatero che equiangolo.
  • Prop. 12: Intorno al cerchio dato circoscrivere un pentagono sia equilatero che equiangolo.
  • Prop. 13: Nel pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, inscrivere un cerchio.
  • Prop. 14: Intorno al pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, circoscrivere un cerchio.
  • Prop. 15: Nel cerchio dato inscrivere un esagono sia equilatero che equiangolo.
  • Prop. 16: Nel cerchio dato inscrivere un pentadecagono sia equilatero che equiangolo.
“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello