!DOCTYPE HTML> LIBRO VI

LIBRO VI

Prop.2: Se una retta è condotta parallela a uno solo dei lati di un triangolo, allora seca i lati del triangolo in proporzione; e, se i lati del triangolo sono secati in proporazione, allora la retta congiungente i punti delle sezioni è parallela al restante lato del triangolo

Dimostrazione

Si conduca DE parallella a BC, uno solo dei lati del triangolo ABC: dico che BD sta a AD come CE sta a AE.

Si congiunga BE e CD.

Il triangolo BDE è quindi uguale al triangolo CDE, sono infatti sulla stessa base DE e nelle stesse parallele DE e BC (Prop.1-37). E ADE è un altro triangolo. E le grandezze uguali alla stessa hanno lo stesso rapporto (Prop.5-7), il triangolo BDE sta quindi al triangolo ADE come il triangolo CDE sta al triangolo ADE.

Ma il triangolo BDE sta a ADE come BD sta a AD, sono infatti sotto la stessa altezza, la perpendicolare condotta da E a AB, essi stanno tra loro come le loro basi (Prop.6-1). Per gli stessi motivi, il triangolo CDE sta a ADE come CE sta a AE. BD sta quindi a AD come CE sta a AE (Prop.5-11).

Ma ora i lati AB e AC del triangolo ABC siano secati in proporzione, così che BD sta a AD come CE sta a AE. Si congiunga DE: dico che DE è parallelo a BC.

Con la stessa costruzione, poiché BD sta a AD come CE sta a AE (Prop.5-1), ma BD sta a AD come il triangolo BDE sta al triangolo ADE, e CE sta a AE come il triangolo CDE sta al triangolo ADE, allora il triangolo BDE sta al triangolo ADE come il triangolo CDE sta al triangolo ADE (Prop.5-11). Ognuno dei triangoli BDE e CDE ha quindi lo stesso rapporto con ADE.

Il triangolo BDE è quindi uguale al triangolo CDE (Prop.5-9), ed essi sono sulla stessa base DE. Ma triangoli uguali che sono sulla stessa base sono anche nelle stesse parallele (Prop.1-39). DE è quindi parallelo a BC.

Se quindi una retta è condotta parallela a uno solo dei lati di un triangolo, allora seca i lati del triangolo in proporzione; e, se i lati del triangolo sono secati in proporzione, allora la retta congiungente i punti delle sezioni è parallela al restante lato del triangolo.

La costruzione con GeoGebra:
  • Poligono: disegna il triangolo ABC
  • Parallela: disegna la parallela per D al lato BC, che intersecano il lato AC in E
  • Segmento: disegna i segmenti DE, DC, E

Questa dimostrazione è una condizione necessaria e sufficiente. Il teorema diretto e inverso sono accomunati.

In questa proposizione si ha un triangolo ABC e una linea DE che congiunge un punto D sul lato AB a un punto E sul lato AC. Essa afferma che

\(BD:AD = CE:AE\) se e solo se DE è parallelo a BC.

Questa proposizione è frequentemente usata nel Libro VI, a partire dalla prossima proposizione.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello