LIBRO XII
Prop.3: Ogni piramide a base triangolare si divide in due piramidi che hanno basi triangolari sia uguali che simili tra loro che simili a quella totale e in due prismi uguali; e i due prismi sono maggiori della metà della piramide totale
Dimostrazione
Sia una piramide il cui triangolo di base sia ABC e il vertice D: dico che la piramide ABCD si divide in due piramidi che hanno basi triangolari uguali tra loro e simili a quella totale e in due prismi uguali; e che i due prismi sono maggiori della metà della piramide totale.
Si sechino a metà AB, BC, CA, AD, DB, DC nei punti E, F, G, H, K, L. Si congiungano HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF, FG. Poiché AE è uguale a EB, e AH è uguale a DH, allora EH è parallela a DB (Prop.6-2). Per gli stessi motivi anche HK è parallelo ad AB. HEBK è quindi un parallelogrammo. HK è quindi uguale a EB (Prop.1-34).
Ma EB è uguale a EA, anche AE è quindi uguale a HK. Ma anche AH è uguale a HD, pertanto i due lati EA e AH sono uguali rispettivamente ai due lati KH, HD, e l'angolo EAH è uguale all'angolo KHD, pertanto la base EH è uguale alla base KD. Il triangolo AEH è allora uguale e simile al triangolo HKD (Prop.1-4). Per gli stessi motivi anche il triangolo AHG è uguale e simile al triangolo HLD.
E poiché le due rette EH, HG che si toccano tra loro sono parallele alle due rette KD, DL che si toccano tra loro e non sono nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali. L'angolo EHG è quindi uguale all'angolo KDL (Prop.11-10). E poiché le due rette EH, HG sono uguali rispettivamente alle due KD, DL, e l'angolo EHG è uguale all'angolo KDL, allora la base EG è uguale alla base KL. Il triangolo EHG è quindi uguale e simile al triangolo KDL. Per gli stessi motivi anche il triangolo AEG è uguale e simile al triangolo HKL (Prop.1-4).
La piramide con la base triangolare AEG e vertice H è quindi uguale e simile alla piramide con la base triangolare HKL e vertice D (Def.11-10). E poiché HK è parallela ad AB, uno dei lati del triangolo ADB, il triangolo ADB è equiangolo al triangolo DHK (Prop.1-29), ed essi hanno i loro lati in proporzione, pertanto il triangolo ADB è simile al triangolo DHK (Def.6-1). Per gli stessi motivi anche il triangolo DBC è simile al triangolo DKL, e il triangolo ADC è simile al triangolo DLH.
E poiché le due rette BA, AC si toccano tra loro e sono parallele alle due rette KH, HL che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali. L'angolo BAC è quindi uguale all'angolo KHL (Prop.11-10). E BA sta a AC come KH sta a HL, pertanto il triangolo ABC è simile al triangolo HKL. La piramide con la base triangolare ABC e vertice D è simile alla piramide con la base triangolare HKL e vertice D.
Ma la piramide con la base traingolare HKL e vertice D è stata dimostrata simile alla piramide con la base traingolare AEG e vertice H. Ognuna delle piramidi AEGH, HKLD è quindi simile alla piramide totale ABCD.
Di nuovo, poiché BF è uguale a FC, allora il parallelogrammo EBFG è doppio del triangolo GFC. E poiché, se vi sono due prismi di uguale altezza, e una ha come base un parallelogrammo e l'altro un triangolo, e se il parallelogrammo è doppio del triangolo, allora i prismi sono uguali. Il prisma compreso dai due triangoli BKF, EHG, e dai tre parallelogrammi EBFG, EBKH, HKFG è quindi uguali al prisma compreso dai due triangoli triangoli GFC, HKL e dai tre parallelogrammi KFCL, LCGH, HKFG (Prop.11-39).
Ed è manifesto che ognuno dei prismi, cioè quello con base il parallelogrammo EBFG e la retta HK sua opposta, e quello con base il triangolo GFC e il triangolo HKL suo opposto, è maggiore di ognuna delle piramidi con basi triangolari AEG, HKL e vertici H, D, infatti, se congiungiamo le rette EF, EK, il prisma con base il parallelogrammo EBFG e la retta HK opposta è maggiore della piramide con base triangolare EBF e vertice K.
Ma la piramide con la base triangolare EBF e vertice A è uguale alla piramide con la base triangolare AE e vertice H, sono infatti compresi da piani uguali e simili.
Così che anche il prisma con base il parallelogrammo EBF e la retta HK opposta è maggiore della piramide con la base triangolare AE e vertice H. Ma il prisma con base il parallelogrammo EBF e retta HK opposta è uguale al prisma con base il triangolo GFC e il triangolo HKL opposto, e la piramide con la base triangolare AEG e vertice H eè uguale alla piramide con base triangolare HKL e vertice D.
I due detti prismi sono quindi maggiori delle due dette piramidi con le basi triangolari AEG, HKL e vertici H, D. La piramide totale con la base triangolare ABC e vertice D è stata quindi divisa in due piramidi uguali tra loro e in due prismi uguali, e i due prismi sono maggiori della metà della piramide totale.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo di base ABC
- Punto: segna il vertice D
- Punto Medio: disegna i punti medi di tutti gli spigoli della piramide
- Segmento: disegna i segmenti EF, EG, FH, FK, GH, HK, HL, KL, FH, EK
Questa e le sei proposizioni successive riguardano il volume dei solidi.