Elementi di Euclide

Prop.5: Se una retta sta sulla sezione comune ad angoli con tre rette che si secano tra loro, allora le tre rette sono in un solo piano

Dimostrazione

Una certa retta AB sia posta ad angoli retti rispetto a tre rette BC, BD, BE nella loro intersezione B: dico che BC, BD, BE sono in un solo piano.

Si supponga che non lo siano, ma, se possibile, BD e BE si trovino nel piano di riferimento e BC in un piano più in alto. Si prolunghi il piano per AB e BC (Prop.11-3). Esso intersecherà il piano di riferimento in una retta. Sia BF l'intersezione comune BF. Le tre rette AB, BC, BF sono pertanto in un solo piano, cioè quello condotto per AB e BC.

E poiché AB è ad angoli retti con ognuna delle rette BD e BE, allora anche AB è ad angoli retti con il piano condotto per BD e BE (Prop.11-4). Ma il piano condotto per BD e BE è il piano di riferimento, pertanto AB è ad angoli retti con il piano di riferimento. Anche AB fa quindi angoli retti con tutte le rette che la incontrano e che sono nel piano di riferimento (Def.11-3).

Ma BF, che è il piano di riferimento, la incontra, pertanto l'angolo ABF è retto. Ed è anche stato supposto che anche l'angolo ABC è retto, pertanto l'angolo ABF è uguale all'angolo ABC, ed essi sono in un solo piano, il che è impossibile.

La retta BC non è quindi in un piano più in alto. Le tre rette BC, BC, BE sono quindi in un solo piano.

Se quindi una retta sta sulla sezione comune ad angoli con tre rette che si secano tra loro, allora le tre rette sono in un solo piano.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta
• Parallela: completa il piano di riferimento
• Segmento: disegna il segmento BD nel piano
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare AB al segmento BD
• Segmento: disegna i segmenti BC, BF, BE

Questa proposizione è usata nella successiva.