LIBRO XI
Prop.4: Se una retta sta sulla sezione comune ad angoli retti con due rette che si secano tra loro, allora sarà ad angoli retti anche con il piano per esse
Dimostrazione
Una certa retta EF stia su da E ad angoli retti rispetto a due rette AB, CD che si secano nel punto E: dico che EF è ad angoli retti anche con il piano per AB e CD.
Si stacchino AE, EB, CE, ED uguali tra loro e sia condotta una certa retta GEH oltre per E come capita. Si congiungano AD e CB, e ancora da un punto F preso come capita su EF si congiungano FA, FG, FD, FC, FH, FB.
E poiché le due rette AE e ED sono uguali alle due rette CE e EB e comprendono angoli uguali (Prop.1-15), allora la base AD è uguale alla base CB, e il triangolo AED è uguale al triangolo CEB, così che l'angolo DAE è uguale all'angolo EBC (Prop.1-4).
Ma anche l'angolo AEG è uguale all'angolo BEH (Prop.1-15), pertanto AGE e BEH sono due triangoli che hanno rispettivamente due angoli uguali a due angoli, e un lato uguale a un lato, cioè quello adiacente agli angoli uguali, cioè AE uguale a EB. Pertanto essi hanno anche i restanti lati uguali ai restanti lati (Prop.1-26), cioè, GE uguale a EH, e AG uguale a BH.
E poiché AE è uguale a EB, mentre FE è in comune e ad angoli retti, allora la base FA è uguale alla base FB (Prop.1-4). Per gli stessi motivi, FC è uguale a FD. E poiché AD è uguale a CB, e anche FA è uguale a FB, i due lati FA e AD sono uguali rispettivamente ai due lati FB e BC, e la base FD è stata dimostrata uguale alla base FC, pertanto anche l'angolo FAD è uguale all'angolo FBC (Prop.1-8).
E poiché AG è stato dimostrato uguale a BH, e inoltre, anche FA è uguale a FB, i due lati FA e AG sono uguali ai due lati FB e BH, e l'angolo FAG è stato dimostrato uguale all'angolo FBH, pertanto la base FG è uguale alla base FH (Prop.1-4). Di nuovo, poiché GE è stato dimostrato uguale a EH, e EF è in comune, i due lati GE e EF sono uguali ai due lati HE e EF, e la base FG è uguale alla base FH, pertanto l'angolo GEF è uguale all'angolo HEF (Prop.1-8).
Ognuno degli angoli GEF e HEF è quindi retto (Def.1-10).
FE è quindi ad angoli retti con GH condotta come capita per E. Del tutto similmente si dimostra che anche FE forma angoli retti con tutte le rette la toccano e sono nel piano di riferimento. Ma una retta è ad angoli retti con un piano quando fa angoli retti con tutte le rette che la toccano e sono nello stesso piano (Def.11-1); FE è quindi ad angoli retti con il piano di riferimento.
Ma il piano di riferimento è il piano per le rette AB e CD. Pertanto FE è ad angoli retti con il piano per AB e CD.
Se quindi una retta sta sulla sezione comune ad angoli retti con due rette che si secano tra loro, allora sarà ad angoli retti anche con il piano per esse.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Punto: segna il punto E nel piano
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare da E al lato orizzontale del piano
- Segmento: disegna sulla perpendicolare il segmento EF
- Circonferenza: disegna una circonferenza di centro E e prendi su di essa i punti A e C
- Retta: conduci le rette AE e CE che intersecano la circonferenza in B e D
- Segmento: disegna i segmenti AD e BC
- Punto: segna il punto G su AD
- Segmento: disegna il segmento GH passante per E
- Segmento: congiungi tutti i punti nel piano con il punto F esterno
Questa proposizione afferma che se una retta passante per un punto è perpendicolare a due altre rette passanti per quel punto, allora è perpendicolare a tutte le rette che passano per quel punto e che giaccione nel piano delle altre due. Tale proposizione indica la condizione di esistenza della retta indicata nel precedente teorema.