LIBRO VI
Prop.21: Figure simili alla stessa figura rettilinea sono pure simili tra loro
Dimostrazione
Sia ognuna delle figure rettilinee A e B simili a C: dico che anche A è simile a B.
Poiché A è simile a C, è anche ad essa equiangolo e ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione (Def.6-1).
Di nuovo, poiché B è simile a C, è equiangolo con essa e ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione.
Pertanto ognuna delle figure A e B è equiangolo con C e con C ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, A è quindi simile a B (Prop.5-11).
Figure simili alla stessa figura rettilinea sono quindi pure simili tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il poligono A
- Punto: segna un punto esterno al poligono
- Parallela: disegna le parallele a due lati del primo poligono passanti per il punto
- Segmento: disegna il segmento omologo su una parallela
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro F e raggio ottenuto applicando la proprietà delle proporzioni ai lati omologhi
- Parallela: disegna le parallele dall'estremo del nuovo segmento trovato le parallele agli altri altri del poligono, che si intersecano in un ulteriore punto
- Poligono: disegna il poligono C
- Ripeti la procedura dal 2 al 7 per ottenere il poligono B
Questa proposizione è usata ancora ancora nelle dimostrazioni del Libro VI.