LIBRO VI

Prop.22: Se quattro rette sono in proporzione, allora le figure rettilinee simili o descritte similmente su di esse sono in proporzione; e, se le figure rettilinee simili o descritte similmente su di esse sono in proporzione, allora le rette sono in proporzione tra loro

Dimostrazione

Siano le quattro rette AB, CD, EF, GH in proporzione, così; che AB sta a CD come EF sta a GH. Siano descritte su AB e CD le figure rettilinee KAB e LCD sia simili che poste similmente, e su EF e GH siano poste le figure rettilinee MF e NH sia simili che poste similmente: dico che KAB sta a LCD come MF sta a NH.

Si prenda una terza proporzionale X di AB e CD, e una terza proporzionale P di EF e GH.

E poiché AB sta a CD come EF sta a GH, allora CD sta a X come GH sta a P (Prop.5-11). Allora, tramite uguale, AB sta a X come EF sta a P (Prop.5-22). Ma AB sta a X come KAB sta a LCD, e EF sta a P come MF sta a NH (Prop.6-19Cor), allora KAB sta a LCD come MF sta a NH (Prop.5-11).

Ma ora stia KAB a LCD come MF a NH: dico che anche AB sta a CD come EF sta a GH.

Se infatti non si ha che EF sta a GH come AB sta a CD, stia EF a QR come AB a CD (Prop.6-12). Si descriva la figura rettilinea SR simile e posta similmente a una o all'altra delle due MF o NH su QR (Prop.6-18).

E poiché AB sta a CD come EF sta a QR, e sono state descritte su AB e CD le figure simili e poste similmente KAB e LCD, e su EF e QR le figure simili e poste similmente MF e SR, allora KAB sta a LCD come MF sta a SR. Ma è stato anche supposto che KAB sta a LCD come MF sta a NH, quindi anche MF sta a SR come MF sta a NH (Prop.5-11). Pertanto MF ha lo stesso rapporto con ognuna delle figure NH e SR, e quindi NH è uguale a SR (Prop.5-9).

Ma è anche simili e similmente posta su di essa, pertanto GH è uguale a QR. E poiché AB sta a CD come EF sta a QR, mentre QR è uguale a GH, allora AB sta a CD come EF sta a GH.

Se quindi quattro rette sono in proporzione, allora le figure rettilinee simili o descritte similmente su di esse sono in proporzione; e, se le figure rettilinee simili o descritte similmente su di esse sono in proporzione, allora le rette sono in proporzione tra loro.

Lemma: Se figure rettilinee sono uguali e simili, i loro lati omologhi sono uguali tra loro

Dimostrazione

Siano NG e SR figure rettilinee uguali e sia anche GH sta a GN, come RP sta a PS: dico che RP è uguale a GH.

Se infatti sono disuguali, una sola è maggiore. Sia RP maggiore di GH.

E poiché RP sta a PS come GH sta a GN, e alternando, RP sta a GH come PS sta a GN. Ed essendo PR maggiore di GH, allora anche PS è maggiore di GN, così che anche PS è maggiore di GN. Ma è stato supposto anche uguale, la qual cosa è impossibile. Non si dà quindi il caso che PR sia disuguale da GH: è quindi uguale.

La costruzione con GeoGebra:
  • Retta: disegna due rette su cui porre i segmenti
  • strong> Segmento: disegna i segmenti AB, CD sulla prima retta e EF sulla seconda
  • Punto: segna il punto G sulla seconda retta
  • Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro G e raggio GH = CDxEF/AB
  • Poligono: disegna il poligono ABK
  • Parallela: disegna la parallele a AK da C e a BK da D; si intersecano nel punto L. Completare il poligono BDL
  • Poligono: disegna il poligono EFM
  • Ripetere la procedura per ottenere il poligonosimile HGN
  • Punto: segna un punto X sulla prima e uno O sulla seconda retta
  • Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro X e raggio X = CDxCD/AB e la circonferenza di centro O e raggio O = GHxGH/EF; sono questi i terzi proporzionali
  • ripeti la procedura per costruire il poligono PRS su un segmento PR maggiore di GH

Questa proposizione è usata nei Libri X e XII.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello