LIBRO XI
Prop.30: Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su non sono sulle stesse rette, sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano i solidi parallelepipedi CM, CN sulla stessa base AB e sotto la stessa altezza, dei quali i lati che stanno su AF, AG, LM, LN, CD, CE, BH, BK non sono sulle stesse rette: dico che il solido CM è uguale al solido CN.
Si prolunghino NK e DH e si incontrino tra loro in R, e si prolunghino FM e GE fino a P e Q. Si congiungano AO, LP, CQ, BR. Il solido CM, del quale il parallelogrammo ACBL è la base e FDHM il suo opposto, è pertanto uguale al solido CP, del quale il parallelogrammo ACBL è la base e OQRP il suo opposto, sono infatti sia sulla stessa base ACBL e sotto la stessa altezza, e i lati che stanno su AF, AO, LM, LP, CD, CQ, BH, BR, sono sulle stesse rette FP, DR (Prop.11-29).
Ma il solido CP, del quale il parallelogrammo ACBL è la base e OQRP il suo opposto, è uguale al solido CN, del quale il parallelogrammo ACBL è la base e GEKN il suo opposto, sono infatti sulla stessa base ACBL e sotto la stessa altezza, e i lati che stanno su AG, AO, CE, CQ, LN, LP, BK, BR, sono sulle stesse rette GQ, NR (Prop.11-29). Anche il solido CM è quindi uguale al solido CN.
Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su non sono sulle stesse rette, sono quindi uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette incidenti
- Parallele: completa il parallelogrammo ACBL
- Perpendicolare: disegna i segmenti AH, LN, CB, BK perpendicolari ad AC formanti il solido CN
- Punto: disegna il punto F
- Segmento: disegna il segmento AF
- Parallela: completa il solido CM di base AB
- Semiretta: prolunga i segmenti FM e NH fino a Q e R
- Segmento: completa i segmenti mancanti
Due applicazioni della precedente proposizione permettono di generalizzare questa proposizione. Una ulteriore generalizzazione si ottiene con la prossima proposizione.