ENRICOFERMI

Fisica del Nucleo

Per costruire un modello del nucleo nello stato fondamentale è necessario determinare prima le sue proprietà.  

• carica
• massa
• raggio
• Energia di Legame

Tutte queste grandezze vengono ottenute tramite misure sperimentali, che devono poi essere interpretate.

I nuclei sono costituiti di protoni e neutroni. Non è possibile seguire uno schema identico a quello della costruzione dell'atomo di Bohr - Sommerfeld in quanto la forza nucleare non è nota esattamente e anche se lo fosse le complicazioni matematiche sembrano attualmente insuperabili. Per questo motivo è necessario ricorrere all'introduzione di modelli. Cosa significa introdurre un modello: fare delle ipotesi a priori, giustificate da alcuni fatti sperimentali, costruire su di esse una teoria che descriva macroscopicamente il nucleo e vedere se le conseguenze che si possono ricavare sono in accordo con altri risultati sperimentali.

Carica

I dati ottenuti mediante la spettroscopia X dimostrano che il nucleo è costituito da una carica positiva Ze, dove Z è il numero atomico ed |e| = 4,8032 x 10-10 ues (unità elettrostatiche, pari a 1,6 x 10-19 coulomb) è il valore della carica dell'elettrone. La carica dei nuclei è compresa tra 1 e 104. I nuclei aventi lo stesso Z sono detti isotopi, in quanto essendo uguali dal punto di vista elettrostatico, lo sono anche dal punto di vista chimico, occupando lo stesso posto nella tavola degli elementi.

Massa

Ogni nucleo ha una massa approssimativamente pari ad un multiplo intero della massa del protone. Tale numero è indicato con A.
I protoni forniscono al nucleo sia la carica che la massa, mentre i neutroni forniscono solo la massa. I nuclei con lo stesso valore di A sono chiamati isobari, perché in prima approssimazione hanno la stessa massa.  Nel 1961 l'Unione Internazionale di Chimica Pura ed Applicata ha adottato come unità di massa nucleare la dodicesima parte dell'atomo di C12 che vale 1,660566 x 10^-24 g = 931,5016 ± 0,0026 MeV / c²

Raggio

La definizione di raggio nucleare è piuttosto arbitraria, dipendendo dal fenomeno usato per definire il raggio; i diversi risultati concordano comunque entro un certo grado anche quantitativamente.  Supponendo per semplicità che il nucleo sia di forma sferica se ne può definire un raggio. Il suo confine esterno è determinato dal diminuire delle forze nucleari con la distanza dal centro del nucleo. Le prime misure furono fatte da Rutherford per mezzo della diffusione di particelle alfa, cioè nuclei di elio portanti 2 cariche positive, inviate contro un bersaglio sottile.

\[\frac{dw}{d\omega}=\frac{Zze^2}{2mv^2}\csc^4\frac{\phi}{2}\]
formula di Rutherford esprimente la distribuzione angolare delle particelle alfa diffuse

Il raggio può essere definito come quella distanza dal centro alla quale la deviazione delle forze nucleari dalla forza repulsiva coulombiana diventa notevole.

Esistono altri metodi quali la diffusione di elettroni e la diffusione di particelle nucleari. Tutti i metodi concordano nell'indicare, in prima approssimazione, che i raggi dei nuclei soddisfano alla relazione:

\[r_n=1,3\cdot 10^{-13} ~~cm\]
raggio elettromagnetico medio: distanza tra centro e punto di densità pari al 50%. A è il numero di massa. Ciò consente di pensare ad una densità nucleare quasi costante. In particolare è quasi costante per tutti i nuclei con valori piccoli di r per poi calare abbastanza lentamente in una zona di transizione detta "superficie". 

Energia di Legame

Osservando la tabella delle masse atomiche si nota che ogni atomo ha una massa un poco più piccola della somma delle masse dei singoli costituenti. vediamo il caso del deuterio che è l'atomo più semplice contenente tutte e tre le particelle base: elettrone, protone, neutrone. Il suo bilancio di massa (in UMA) è il seguente:

massa riposo protone	1,007276
massa riposo neutrone	1,008665
massa riposo elettrone	0,000549
massa totale delle particelle non legate	2,016490
massa a riposo dell'atomo di deuterio	2,014102
differenza di massa	0,002388

I protoni e i neutroni legandosi per formare il nucleo, perdono una certa quantità della loro massa. Sebbene Dm (detto difetto di massa) sembri piccolo, esso corrisponde ad una notevole quantità di energia. Infatti in base alla famosa formula di Einstein E = mc2 si ha (essendo 1 UMA = 1,66 x 10-27 kg):

Ma 1 MeV = 1,60 x 10^-13 joule e quindi

E = (3,57 x 10^-13 joule) / (1,6 x 10^-13 joule/MeV) = 2,23 MeV

Questa energia viene emessa in qualche modo al momento della formazione dell'atomo.

In generale, la quantità A - M, in cui M è la massa dell'atomo, è detta "difetto di massa". Se in una reazione nucleare due atomi di massa M1 e M2 si combinano per formare un terzo atomo di massa M₃, la quantità (Msub>1 + Msub>2 - Msub>3)c² è detta energia di legame.

L'energia di legame è strettamente connessa alla stabilità di un nucleo. Vi sono infatti in natura nuclei stabili, cioè che non subiscono col passare del tempo alcuna trasformazione spontanea, e nuclei instabili, cioè che in un dato tempo si trasformano spontaneamente in altri nuclei, emettendo una qualche particella nucleare o un elettrone positivo o negativo e una certa quantità di energia cinetica od elettromagnetica (raggi g). Se invece dell'energia di legame totale si considera quella media per nucleone (energia totale diviso A) si vede che l'energia di legame media raggiunge un valore intorno agli 8 MeV che rimane poi costante per un grande intervallo del valore della massa, per poi calare lentamente per gli atomi con le masse maggiori. Esistono pure molti nuclei che diventano instabili artificialmente per mezzo delle reazioni nucleari.
Questo studio fu portato avanti da Fermi già nel laboratorio di Via Panisperna.

 Modelli del Nucleo

Poiché le reazioni nucleari coinvolgono energie milioni di volte maggiori di quelle prodotte nelle reazioni chimiche, le forze che tengono unito un nucleo devono essere molto più intense di quelle che tengono assieme le molecole. Dalle ricerche di Rutherford sappiamo inoltre che il raggio del nucleo è dell'ordine di 10-12, 10-13 cm, per cui il volume di un nucleo  è piccolissimo. Queste forze agiscono quindi a distanze estremamente piccole

Le caratteristiche delle forze nucleari sono a tutt'oggi non del tutte conosciute, è perciò necessario ricorrere all'uso di modelli.

Il Modello a Goccia

Il nucleo è considerato come una goccia di liquido elettricamente carica. Il modello è basato sulla similitudine concettuale tra le forze a breve raggio che tengono assieme le molecole della superficie e sul fatto che un gruppo di particelle nucleari può acquistare sufficiente energia da poter vincere le forze nucleari, similmente al fenomeno dell'evaporazione. Le particelle dentro il nucleo sono perciò in continuo movimento.

Questo modello si dimostra particolarmente utile nella descrizione delle reazioni nucleari. In particolare fu introdotto da Bohr e da esso utilizzato, assieme a Wheeler, per spiegare nel 1939 la fissione dell'uranio, mediante la cattura di un neutrone. Secondo siffatta teoria il nucleo si deforma, proprio come una goccia, assumendo una forma allungata con una strozzatura nel mezzo, tanto che le due parti, cariche positivamente, si vengono ad un certo punto a trovare ad una distanza maggiore di quella d'azione delle forze nucleari. 

Prevalgono quindi le forze repulsive coulombiane provocando la spaccatura (fissione) del nucleo.

 Il Modello a Strati

É un modello basato su una stretta analogia con quello della struttura atomica. Fu introdotto nel 1949 da Mayer e Jensen. I suoi presupposti sono soprattutto empirici.

Ipotesi:

1. I nucleoni possono percorrere delle traiettorie definite nel nucleo, senza interagire tra loro (anche se ciò sembra in contrasto con le proprietà viste del nucleo); si può postulare questa proprietà supponendo la validità di una proprietà come quella introdotta da Pauli per l'atomo. Questa ipotesi presuppone l'esistenza di uno stato fondamentale al di sopra del quale vi sono stati con livelli energetici diversi. Nello stato fondamentale stazionario, i nucleoni non possono quindi essere diffusi per urto con altri nucleoni per mancanza di stati liberi disponibili.
2. Esiste un campo di forze derivabili da un potenziale, nell'interno del nucleo, sotto la cui azione si muovono i nucleoni

IL Modello a Gas di Fermi

Il nucleo è descritto come un gas di protoni e neutroni, trascurando gli effetti di superficie. Il modello è basato sulla statistica delle particelle a spin ½ sottostante al principio di esclusione di Pauli. Il nucleo nel suo stato fondamentale ha una temperatura T = 0, mentre il nucleo eccitato avrà una temperatura T. Il numero degli stati occupati fino al più alto è uguale a quello delle particelle. In tali condizioni il gas è completamente degenere (non ha altri stati disponibili). Questo modello viene principalmente usato per calcolare la densità dei livelli di eccitazione dei nuclei e l'emissione di particelle.