La legge di Planck
Verso la legge di Planck
Uno dei principali successi della teoria elettromagnetica di Maxwell consiste nel prevedere che una carica elettrica q in moto accelerato irraggia una radiazione elettromagnetica che si propaga nel vuoto con velocità
\[c = \left(\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\right)^{-1}\]
dove ε0 e μ0 sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica nel vuoto .
Hertz provò sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche e ciò contribuì ad unificare l'elettromagnetismo all'ottica.
La luce cade nello spettro visibile quando la temperatura del corpo emittente supera i 450 °K.
La teoria elettromagnetica doveva essere pertanto in grado di spiegare l'assorbimento e l'emissione della luce da parte dei corpi.
Consideriamo un corpo C a temperatura T. L'energia elettromagnetica da esso irraggiata in funzione della frequenza n e della temperatura T nell'unità di tempo è detto potere emissivo e(n, T, x), mentre è detto potere assorbente a(n, T, x) il rapporto tra l'energia assorbita e quella totale incidente. (La variabile x esprime la dipendenza dalle caratteristiche fisiche del corpo stesso).
Appare abbastanza ovvio affermare che il potere assorbente a(n, T, x) < 1. Quando a = 1 il corpo assorbe tutta la radiazione incidente ed è detto corpo nero.
Consideriamo come oggetto di riferimento un corpo nero. Supponiamo che:
- l'energia che un corpo emette venga tolta integralmente dalla sua energia termica
- l'energia che un corpo assorbe sia integralmente trasformata in energia termica
Sotto queste condizioni si considera come modello una cavità racchiusa da corpi alla stessa temperatura e che comunica con l'esterno tramite un'apertura di area infinitesima. Una tale cavità è detta isoterma ed è un assorbitore perfetto, cioè un corpo nero. Per una tale cavità Kirchoff dimostrò che la densità di energia al suo interno non dipende dalla natura delle pareti e dalla forma, dalla posizione in cui è valutata, dalla direzione di propagazione della radiazione elettromagnetica.
La densità di energia u(ν, T) risulta pertanto dipendente solo dalla frequenza e dalla temperatura.
Si mostra che, in tal caso, il potere emissivo può essere espresso come:
\[e\left(\nu,T\right)=\frac{c}{4\pi}u\left(\nu,T\right)\]
La relazione mette in evidenza che la densità di energia può essere calcolata attraverso la determinazione del potere emissivo di un corpo nero.
In pratica si può misurare l'energia totale emessa E(n, T) = pe(n, T). Nella figura seguente sono riportate le curve ottenute sperimentalmente.
Sperimentalmente si poterono ottenere due leggi (nelle misure si preferisce determinare il potere emissivo in funzione della lunghezza d'onda.
\[E\left(\nu,T\right)=\sigma T^4=5,66\cdot10^{-5} T^4\]
Legge di Stefan - Boltzmann
\[\lambda_{max} T = cost = 0,290 \left[cmK\right]\]
Legge dello spostamento
Lo scienziato Wien cercò di descrivere i dati sperimentali con una legge della forma
\[E\left(\nu,T\right)=\frac{\nu^2}{kc^2}kT f\left(\frac{h\nu}{kT}\right)\]
che richiede l'introduzione di una nuova costante h [ Joule x t] (azione)
La funzione f non era nota e doveva essere tale da riprodurre i corretti valori delle leggi di Stefan e dello spostamento.
Per esplicitare la funzione f si può descrivere la cavità come un sistema di cariche elettriche oscillanti con moto armonico, generanti un campo di radiazione. In tal caso la trattazione deve basarsi sulla statistica classica che tratta il comportamento medio di una grande quantità di particelle. Si ottiene la formula di Rayleigh - Jeans:
\[E\left(\nu,T\right)=\frac{2\pi}{c^2}kT \nu^2\]
Confrontando la rappresentazione grafica di questa funzione con la curva sperimentale si osserva che essa descrive abbastanza bene i valori sperimentali per piccoli valori della frequenza, ma è in completo disaccordo quando ci si avvicina al valore massimo della frequenza.
Per superare queste difficoltà Max Planck riesaminò le ipotesi che descrivono la distribuzione di energia nella meccanica statistica. Egli propose che ogni oscillatore potesse avere energia multipla di "quanto elementare" di energia, ε.
Affinché la legge di Wien fosse verificata dalla nuova relazione trovata, era necessario che tale quanto elementare avesse un'energia proporzionale alla frequenza della radiazione prodotta dall'oscillatore.
\[E\left(\nu,T\right)=\frac{2\pi}{c^2} \nu^2\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}-1}}\]
Questa è la famosa formula di Planck dove la nuova costante
h = 6,62607015 x 10-34 J s.
