LIBRO VII
Prop.11: Se un totale sta a un totale come un numero sottratto sta a un numero sottratto, allora il restante sta al restante come il totale sta al totale
Dimostrazione
Stia AB totale a CD totale come AE sottratto sta a CF sottratto: dico che EB restante sta a FD restante come AB totale sta a CD.
Poiché AB sta a CD come AE sta a CF, allora AE è la stessa parte o parti di CF come AB lo è di CD. Pertanto EB restante è la stessa parte o parti di FD quella che AB è di CD (Prop.7-7, Prop.7-8).
Pertanto EB sta a FD come AB sta a CD (Def.7-20).
Se quindi un totale sta a un totale come un numero sottratto sta a un numero sottratto, allora il restante sta al restante come il totale sta al totale.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette sulle quali collocare i due segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AB, Cd e AE
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CF = CDxAE/AB
Questa proposizione è l'analoga numerica (non per grandezze) della proposizione Prop.5-19.
In notazione algebrica
se \(a:c = e:f\) allora \((a-e):(c-f) = a:c\)
Questa proposizione è utilizzata nel Libro IX.