Elementi di Euclide

Prop.14: Se una prima grandezza ha con la seconda lo stesso rapporto così come una terza con una quarta, e la prima è maggiore della terza, allora anche la seconda è maggiore della quarta; qualora è uguale, sarà uguale; se minore, sarà minore

Dimostrazione

Abbia una prima grandezza A lo stesso rapporto con una seconda B come una terza C con una quarta D, e sia A maggiore di C: dico che anche B è maggiore di D.

Poiché A è maggiore di C, e B è un'altra grandezza, come càaita, allora A ha con B un rapporto maggiore di quello di C con B (Prop.5-8). Ma A sta a B come C sta a D, pertanto C ha con D un rapporto maggiore che C con B (Prop.5-13). E la grandezza rispetto a cui la stessa ha rapporto maggiore, quella è minore: D è quindi minore di B, così che B è maggiore di D (Prop.5-10).

Analogamente si dimostra che, se A è uguale a C, allora B è uguale a D, e, se A è minore di C, allora B è minore di D. (Def.5-7).

Se quindi una prima grandezza ha con la seconda lo stesso rapporto così come una terza con una quarta, e la prima è maggiore della terza, allora anche la seconda è maggiore della quarta; qualora è uguale, sarà uguale; se minore, sarà minore.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti A, B, C
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmenti D = BC/A

Questa proposizione afferma che

se \(a:b = c:d\) e \(a >=< b\) allora \(c >=< d\)

Questa proposizione è usata nella Prop.5-16.