LIBRO X - Seconda Parte
Prop.74: Se da una retta mediale è sottratta una mediale che è commensurabile con la totale solo in potenza, e che comprende con la totale un rettangolo razionale, allora la restante è irrazionale; sia chiamata apotome prima di una mediale
Dimostrazione
Da una mediale AB sia sottratta una esprimibile BC che è commensurabile soltanto in potenza con AB e che con AB forma il rettangolo compreso da AB, BC razionale: dico che la restante AC è la retta irrazionale chiamata apotome prima di una mediale.
Poiché AB e BC sono mediali, anche i quadrati su AB e BC sono mediali. Ma il doppio del rettangolo AB per BC è razionale, pertanto la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC.
Anche il doppio del rettangolo AB per BC è quindi incommensurabile con il restante, il quadrato su AC, poiché, se il totale è incommensurabile con una delle grandezze, allora anche le grandezza in origine sono incommensurabili (Prop.10-16).
Ma il doppio del rettangolo AB per BC è razionale, pertanto il quadrato su AC è irrazionale, e quindi AC è irrazionale. Sia chiamata apotome prima di una mediale (Def.10-4).
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Segmento: disegna il segmento AB
- strumento Segmento: disegna il segmento CB