LIBRO II
Prop. 13: Nei triangoli acutangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo acuto è minore dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo acuto per due volte il rettangolo compreso da uno solo dei lati intorno all'angolo acuto, quello su cui cade la perpendicolare, e dalla retta staccata all'interno dalla perpendicolare all'angolo acuto
Dimostrazione
Sia ABC un triangolo acutangolo che ha l'angolo su B acuto, e si conduca dal punto A perpendicolare (Prop.1-12) a BC una retta AD: dico che il quadrato su AC è minore della somma dei quadrati su CB e BA per due volte il rettangolo CB per BD.
Poiché infatti la retta CB risulta secata, come capita, in D, la somma dei quadrati su CB e BD è uguale al doppio della somma del rettangolo CB per BD più il quadrato su DC (Prop.2-7).
Si sommi il quadrato su DA comune: la somma dei quadrati su CB, BD e DA è quindi uguale a due volte il rettangolo CB per BD più la somma dei quadrati su AD e DC.
Ma il quadrato su AB è uguale alla somma dei quadrati su BD e DA (Prop.1-47), l'angolo D è infatti retto, e il quadrato su AC è uguale alla somma dei quadrati su AD e DC; la somma dei quadrati su CB e BA è quindi uguale al quadrato su AC più due volte il rettangolo CB per BD, così che il quadrato su AC da solo è minore della somma dei quadrati su CB e BA per due volte il rettangolo CE per BD.
Nei triangoli acutangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo acuto è minore dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo acuto per due volte il rettangolo compreso da uno solo dei lati intorno all'angolo acuto, quello su cui cade la perpendicolare, e dalla retta staccata all'interno dalla perpendicolare all'angolo acuto.
La costruzione con GeoGebra::
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare per A alla base BC che la interseca nel punto D
- Segmento: disegna il segmento AD
Questa proposizione unita alla precedente fa da complemento del teorema di Pitagora, Prop1-.47. In essa, l'angolo A è acuto invece di ottuso, e la conclusione è che
\( a^{2}=b^{2}+c^{2}-2ch \)
dove h identifica l'altezza del triangolo e c la base. Questa conclusione è assai simile alla legge dei coseni (teorema di Carnot) per triangoli qualunque.