LIBRO II

Prop. 11: Secare la retta data in modo che il rettangolo compreso da quella totale e dall'uno o dall'altro dei segmenti sia uguale al quadrato sul restante segmento

Dimostrazione

Sia data la retta AB: si deve pertanto secare AB cosicché il rettangolo compreso da quella totale e dall'uno o dall'altro dei segmenti sia uguale al quadrato sul restante segmento.

Si descriva su AB il quadrato ABDC (Prop.1-46), e si sechi AC a metà nel punto E (Prop.1-10) e si congiunga B con E; e si prolunghi CA fino a F (Prop.1-3), e si ponga BE uguale a EF; si descriva su AF il quadrato FH e si conduca GH fino a K (Prop.1-46): dico che AB risulta secata secondo H in modo da formare il rettangolo AB per BH uguale al quadrato su AH.

Poiché infatti la retta AC risulta secata a metà in E, e ad essa risulta sommata FA, il rettangolo CF per FA più il quadrato su AE è uguale al quadrato su EF (Prop.2-6). Ma EF è uguale a EB, il rettangolo CF per FA insieme al quadrato su AE è uguale al quadrato su EB.

Ma la somma dei quadrati su BA e AE è uguale al quadrato su EB (Prop.1-47), l'angolo su A è infatti retto, il rettangolo CF per FA insieme al quadrato su AE è uguale alla somma dei quadrati su BA e AE. Si sottragga quello su AE comune; il rettangolo restante CF per FA è uguale quindi al quadrato su AB.

Il rettangolo FA per FK è FK, AF è infatti uguale a FG, e il quadrato su AB è AD, FK è quindi uguale ad AD. Si sottragga AK comune: FH restante è allora uguale a HD.

E HD è il rettangolo AB per BH, AB è infatti uguale a BD, e FH è il quadrato su AH; il rettangolo AB per BH è quindi uguale al quadrato su AH.

La retta data AB risulta quindi secata secondo H così da fare il rettangolo AB per BH uguale al quadrato su AH.

La costruzione con GeoGebra::
  • Segmento: disegna il segmento AB
  • Poligono regolare: disegna il quadrato ABDC su AB
  • Punto medio: traccia il punto medio E del lato AC
  • Segmento: disegna il segmento BE
  • Semiretta: disegna la semiretta CA
  • Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E e raggio EB, che interseca la semiretta CA in F
  • Poligono regolare: disegna il quadrato AFGH, su AF, dalla parte di ABCD
  • Semiretta: disegna la semiretta GH che interseca il lato CD in K
  • Segmento: disegna il segmento HK

Questa costruzione seca la retta in due parti per risolvere geometricamente l'equazione

\(a\left(a-x\right)=x^{2}\)

Questa figura è sovente usata per illustrare la proprietà iterativa della sezione aurea. (figura sotto)

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello