LIBRO I
Prop. 7: Sulla stessa retta altre due rette rispettivamente uguali alle stesse due rette e che hanno gli stessi limiti delle rette in origine non saranno costruite verso punti differenti dalla stessa parte
Dimostrazione
Se possible, date due rette AC e CB costruite sulla stessa retta AB e che si incontrano nel punto C, siano altre due rette AD e DB costruite sulla stessa retta AB, dalla stessa parte di essa, che si incontrano in un altro punto D e uguali rispettivamente alle prime due, cioè ciascuna uguale a quella che ha lo stesso estremo, così che AC è uguale ad AD aventi lo stesso estremo A, e CB è uguale a DB aventi lo stesso estremo B.
Si unisca CD (Post. 1).
Poiché AC è uguale a AD, allora l'angolo ACD è uguale all'angolo ADC. Pertanto l'angolo ADC è maggiore dell'angolo DCB e l'angolo CDB è maggiore dell'angolo DCB. Di nuovo, poiché CB è uguale a DB, allora l'angolo CDB è uguale all'angolo DCB. Ma è stato pure dimostrato che è maggiore di esso, la qual cosa è impossibile.
Pertanto, date due rette costruite dai limiti di una retta e che si incontrano in un punto, non si possono costruire dai limiti della stessa retta, e dalla stessa parte di essa, altre due rette che si incontrano in un altro punto e uguali rispettivamente alle prime due, cioè ciascuna uguale a quella dallo stesso limite.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: traccia il segmento AB
- Punto: segno un punto C
- Semiretta: disegna le semirette AC e CB
- Semiretta: disegna la semirette BD
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AC, che interseca la semiretta AD in D
- Segmento: disegna tutti i segmenti
Per concludere che l'angolo ADC è maggiore dell'angolo DCB è necessario che l'angolo ADC sia maggiore dell'angolo DCB, ma ciò non accadrà a meno che il punto D non si trovi all'esterno del triangolo ABC. Euclide non ha considerato il caso in cui D giace all’interno del triangolo ABC così come altri casi speciali.
Questa proposizione non è più utilizzata nel Libro I, ma trova applicazione nei Libri II, III, IV, V, VI, XIII.