LIBRO I
Prop. 14: Se, su una certa e su un punto su di essa, due rette che sono poste non dalla stessa parte formano gli angoli consecutivi uguali a due retti, le rette saranno in linea retta tra loro
Dimostrazione
Su una retta data AB e su un punto B su di essa, due rette BC e BD, che sono poste non dalla stessa parte, formino gli angoli consecutivi ABC e ABD uguali a due retti: dico che BD è in linea retta con CB.
Se BD non è in linea retta con BC, allora sia BE in linea retta con CB (Post2). Poiché la retta AB sta sulla retta CBE, la somma degli angoli ABC e ABE è quindi uguale a due angoli retti (Prop.1-13). Ma anche la somma degli angoli ABC e ABD è uguale a due retti, la somma degli angoli CBA e ABE è quindi uguale alla somma degli angoli CBA e ABD (NC1).
Si sottragga l'angolo CBA da ognuno. L'angolo ABE restante è quindi uguale all'angolo ABD restante, il minore uguale al maggiore, il che è impossbile. BE non è quindi in linea retta con CB (NC3). Analogamente si dimostra che neanche un'altra retta tranne BD. Pertanto CB è in linea retta con BD.
Se quindi, su una certa e su un punto su di essa, due rette che sono poste non dalla stessa parte formano gli angoli consecutivi uguali a due retti, le rette saranno in linea retta tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Retta: disegna la retta CD passante per B
- per fare in modo che E stia sempre solo da una parte rispetto a CD:
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a CD per B
- Punto: traccia un punto F sulla perpendicolare dalla parte di AB
- Circonferenza: disegna una circonferenza avente centro sulla perpendicolare e raggio uguale a FB
- Punto: segna il punto E su questa circonferenza
- Segmento: traccia il segmento CE
Questa proposizione è la proposizione inversa della precedente.
È utilizzata nella dimostrazione della Prop.1-45 e della Prop.1-47