LIBRO IX
Prop.6: Se un numero moltiplicato per se stesso produce un cubo, allora anch'esso è un cubo
Dimostrazione
>Un numero A moltiplicato per se stesso produca un cubo B: dico che anche A è cubo.
A moltiplicato per B produce C. Poiché, allora, A moltiplicato per se stesso produce B, e moltiplicato per B produce C, C è quindi un cubo. E poiché A moltiplicato per se stesso produce B, allora A misura B secondo le unità in se stesso.
Ma anche l'unità misura A secondo le unità in esso. Pertanto l'unità sta ad A come A sta a B. E poiché A moltiplicato per B produce C, allora B misura C secondo le unità in A. Ma anche l'unità misura A secondo le unità in esso. L'unità sta quindi ad A come B sta a C. Ma l'unità sta ad A come A sta a B, allora A sta a B come B sta a C.
E poiché B e C sono cubi, allora essi sono numeri solidi simili. Vi sono quindi due medi proporzionali tra B e C (Prop.8.19). Ma B sta a C come A sta a B. Vi sono quindi anche due medi proporzionali tra A e B (Prop.8-8).
Ma B è un cubo, anche A è quindi un cubo.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna il segmento A
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti B = AxA; C = BxA
La struttura della dimostrazione in linguaggio algebrico è la seguente: si assuma che \(a^2\) sia un cubo. Poiché \(a^3\) è pure un cubo, allora vi sono due medi proporzionali tra di essi in base alla Prop.8-19. Ma dalla proporzione \(a:a^2 = a^2:a^3\), vi sono anche due medi proporzionali tra \(a\) e \(a^2\), dalla Prop.8-8. E poiché \(a^2\) è stato supposto essere un cubo, allora anche \(a\) lo è.
La proposizione è utilizzata nel Libro X.