LIBRO IX
Prop.5: Se un numero cubico moltiplicato per un certo numero produce un numero cubico, allora anche il numero moltiplicato è un cubo
Dimostrazione
Un numero cubo A moltiplicato per un certo numero B produca un cubo: dico che B è cubo.
A moltiplicato per se stesso produce D. Allora D è un cubo (Prop.9-3).
Poiché A moltiplicato per se stesso produce D, e moltiplicato per B produce C, allora A sta a B come D sta a C (Prop.7-17). E poiché D e C sono cubi, allora sono numeri solidi simili (Prop.8-19). Due numeri medi proporzionali cadono quindi tra D e C. Ma D sta a C come A sta a B, pertanto due medi proporzionali cadono tra A e B (Prop.8-8).
Ed A è un cubo, pertanto anche B è un cubo (Prop.8-23).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti D = AxA; C = AxB
Questa proposizione è l'inversa della precedente. Quando \(ab = c\), e \(a\) è un cubo, la proposizione precedente afferma che se \(b\) è un cubo, allora lo è anche \(c\), mentre questa proposizione dice che se \(c\) è un cubo, allora lo è anche \(b\).