LIBRO IX
Prop.20: I numeri primi sono più di ogni molteplicità assegnata di numeri primi
Dimostrazione
Siano A, B, C i numeri dati: dico che ci sono più numeri primi di A, B, C.
Si prenda un numero minimo DE misurato da A, B, C. Si aggiunga l'unità DF a DE. Allora EF è o primo oppure non lo è.
Sia in primo luogo, primo. Allora risultano trovati più numeri primi A, B, C, EF di A, B, C.
Sia ora EF non primo. Allora è misurato da un certo numero primo. Sia misurato dal numero primo G (Prop.7-31): dico che G non è lo stesso di nessuno degli A, B, C.
Se possibile, lo sia. Ora A, B, C misurano DE, pertanto anche G misura DE. Ma misura anche EF. Pertanto G, essendo un numero, misura anche il restante, l'unità, il che è assurdo.
Pertanto G non è lo stesso di uno solo dei numeri A, B, C. Ed è stato supposto primo. Pertanto i numeri primi risultano trovati più numeri primi A, B, C, G della molteplicità assegnata A, B, C.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, G
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti ED = AxBxC; DF = unità; DF
La proposizione è la prima dimostrazione nella storia della matematica dell'esistenza di infiniti numeri primi.
Supponiamo che \(a,b,c\) siano numeri primi. Euclide, per illustrare comunque la generalità analizza il caso in cui i primi sono \(3\). Sia \(m\) il loro minimo comune multiplo.
Consideriamo il numero \(m+1\). Se è primo, vi è sicuramente un primo in più rispetto a quelli dati. Iterando questo ragionamento si può mostrare che esistono infiniti primi.
Supponiamo ora che \(m+1\) non sia primo. Allora è diviso da un certo numero \(g\). Ma \(g\) non può essere uno dei primi inizialmente presi, poiché essi dividono tutti \(m\) ma non \(m+1\). Pertanto vi è ancora un altro primo. Sempre iterando, non vi è un numero finito di primi.