LIBRO VIII
Prop.5: I numeri piani tra loro hanno come rapporto quello composto da quelli dei lati
Dimostrazione
Siano A e B numeri piani, e siano C e D i lati di A ed E e F i lati di B: dico che A ha con B il rapporto composto del rapporto dei lati.
Dati i rapporti che C ha con E e D con F, si prendano di seguito i numeri minimi G, H, K nei rapporti C E D e F, così che C sta a E come G sta a H, e D sta a F come H sta a K (Prop.8-4). Moltiplicando D per E si produce L.
E poiché D moltiplicato per C produce A, e moltiplicato per E produce L, allora C sta a E come A sta a L. Ma C sta a E come G sta a H, pertanto G sta a H come A sta a L (Prop.7-17).
Di nuovo, poiché E moltiplicato per D produce L, e inoltre moltiplicato per F produce B, allora D sta a F come L sta a B. Ma D sta a F come H sta a K, pertanto H sta a K come L sta a B (Prop.7-17).
Ma è stato dimostrato che H sta a G come A sta a L, pertanto, tramite uguale, L come G sta a K come A sta a B (Prop.7-14).
Ma G ha con K il rapporto composto dei rapporti dei lati, pertanto anche A ha con B il rapporto composto dei rapporti dei lati.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D, E, F
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = CxD; B = ExF; L = DxE
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = 1.2xC; H = ExG/C, K = FxH/D
Il rapporto composto da due rapporti dati \(a:b\) e \(b:c\) è il rapporto \(a:c\); ma se il termine medio \(b\) non è condiviso dai due rapporti dati, allora devono essere trovati rapporti uguali che hanno un termine medio condiviso. Per trovare il rapporto composto di due rapporti dati \(a:b\) e \(c:d\) si deve prima trovare \(e, f, g\) così che \(e:f = a:b\) e \(f:g = c:d\). Poi, il rapporto composto dai rapporti \(a:b\) e \(c:d\) sarà lo stesso del rapporto composto dai rapporti \(e:f\) e \(f:g\) cioè \(e:g\).
Un numero piano è considerato come il prodotto di due altri numeri, che sono i suoi lati.