LIBRO VIII

Prop.15: Se un numero cubo misura un numero cubo, allora anche il lato misura il lato; e, se il lato misura il lato, allora anche il cubo misura il cubo

Dimostrazione

Il numero cubo A misuri il cubo B, e siano C e D i loro lati: dico che C misura D.

C moltiplicato per se stesso produce E, e D moltiplicato per se stesso produce G, e C moltiplicato per D per F, e moltiplicando C e D per F si produce rispettivamente H e K.

È pertanto manifesto che E, F, G (Prop.8-11) e A, H, K, B sono in proporzione continua nel rapporto di C con D (Prop.8-12). E poiché A, H, K, B sono in proporzione continua e A misura B e G allora misura anche H (Prop.8-7).

Ma A sta a H come C sta a D, pertanto anche C misura D.

Ma ora C misuri D: dico che anche A misura B.

Con la stessa costruzione, si dimostra in modo simile che A, H, K, B sono in proporzione continua nel rapporto di C con D. E poiché C misura D, e C sta a D come A sta a H, pertanto anche A misura H, così che anche A misura B.

La costruzione con GeoGebra:
  • Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
  • Segmento: disegna i segmenti C, D
  • Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = CxCxC; B = DxDxD
  • Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = CxC; G = DxD; F = CxD;
  • Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti H = CxF; K = DxF

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.8-17.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello