LIBRO VIII

Prop.11: Tra due numeri quadrati vi è un solo numero medio proporzionale, e il quadrato ha con il quadrato il rapporto raddoppiato che il lato ha con il lato

Dimostrazione

Siano A e B i numeri quadrati, e sia C il lato di A e D di B: dico che tra A e B vi è un medio proporzionale, e che A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che C ha con D.

C moltiplicato per D produce E.

E poiché A è un quadrato e C il suo lato, allora C moltiplicato per se stesso produce A. Per gli stessi motivi anche D moltiplicato per se stesso produce B. Poiché, ancora C moltiplicato per i numeri C e D produce rispettivamente A ed E, allora C sta a D come A sta a E (Prop.7-17).

Per gli stessi motivi anche C sta a D come sta a B. Pertanto A sta a E come E sta a B. Tra A e B vi è quindi un medio proporzionale (Prop.7-18).

Dico ora anche che A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che C ha con D.

Poiché A, E, B sono tre numeri in proporzione, allora A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che A ha con E (Def.5-9). Ma A sta a E come C sta a D, pertanto A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che il lato C ha con D.

La costruzione con GeoGebra:
  • Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
  • Segmento: disegna i segmenti C, D
  • Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = CxC; B = DxD
  • Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = CxD

Tra \(c^2\) e \(d^2\) il medio proporzionale è \(cd\) e il rapporto \(c^2:d^2\) è quello raddoppiato rispetto a \(c:d\).

Questa proposizione è utilizzata nel Libro VIII e nel Libro X.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello