Elementi di Euclide

Prop.4: Ogni numero è o parte oppure parti di ogni numero, il minore del maggiore

Dimostrazione

Siano A e BC due numeri, e sia BC il minore: dico che BC è o una parte, o parti, di A.

A e BC o sono primi tra loro oppure no. In primo luogo, siano A e BC primi tra loro.

Se BC è diviso nelle unità in esso contenute, allora ogni unità di quelle in BC è una certa parte di A, così che BC è parti di A (Def.7-4).

Non siano ora A e BC primi tra loro, allora BC o misura o non misura A.

Se dunque BC misura A, allora BC è una parte di A (Def.7-3). Ma, se non è così, si prenda la massima misura comune D di A e BC, e si divida BC in BE, EF, FC uguali a D (Prop.7-2). E poiché D misura A, allora D è una parte di A. Ma D è uguale a ciascuno dei numeri BE, EF, FC, pertanto ciascuno dei numeri BE, EF, FC è anche una parte di A, così che BC è parti di A.

Ogni numero è quindi o parte oppure parti di ogni numero, il minore del maggiore.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i tre segmenti
• Segmento: disegna il segmento D
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti BC multiplo di D
• Segmento: disegna il segmento A maggiore di BC

Questa proposizione afferma che se un numero b è più piccolo di un numero a, allora b è o una parte di a, cioè, b è una frazione unitaria di a, oppure b è parti di a, cioè una frazione propria, ma non una unità frazionaria, di a. Cioè, 2 è una parte di 6, cioè la terza parte; ma 4 è parte di 6, cioè i suoi due terzi.

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.7-20.