LIBRO VII
Prop.39: Trovare il numero che, essendo minimo, ha le parti date
Dimostrazione
Siano A, B, C le parti date: si deve pertanto trovare un numero, che essendo minimo, avrà le parti A, B, C.
Siano D, E, F i numeri omonimi alle parti A, B, C. Si prenda G, il numero minimo misurato da D, E, F (Prop.7-36). Pertanto G ha parti omonime a D, E, F (Prop.7-37). Ma A, B, C sono parti omonime a D, E, F, pertanto G ha le parti A, B, C.
Dico ora che le ha ed è anche minimo. Se, vi è un certo numero H minore di G che ha le parti A, B, C.
Poiché H ha le parti A, B, C, allora H è misurato da numeri omonimi alle parti A, B, C. Ma D, E, F sono numeri omonimi alle parti A, B, C, pertanto H è misurato da D, E, F (Prop.7-38). Ed è minore di G, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che esista un certo numero minore di G che ha le parti A, B, C.
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D, H
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti E = D/A, F = D/B e G = DxExF
Chiariamo con un esempio: supponiamo di voler trovare il numero più piccolo con parti date, per esempio, un quarto o un sesto. Allora si prende il minimo comune multiplo tra le due parti, \(mcm(4,6) = 12\). Per questo numero \(12\) vi sono le parti indicate sia con \(\frac{1}{4}\), cioè \(3\), che come \(\frac{1}{6}\), cioè \(2\).