LIBRO VII
Prop.28: Se due numeri sono primi tra loro, anche la loro somma è primo dell'uno e dell'altro; e, se la somma di due numeri è primo a un certo di essi, è primo anche al numero originario
Dimostrazione
Siano stati aggiunti due numeri primi tra loro AB e BC: dico che anche la loro somma AC è primo rispetto ad ognuno dei numeri AB e BC.
Se CA e AB non sono primi tra loro, allora un certo numero D misura CA e AB. Poiché dunque D misura CA e AB, allora misura anche BC restante. Ma misura anche BA; D misura quindi AB e BC che sono primi tra loro, il che è impossibile (Def.7-12).
Pertanto nessun numero misura CA e AB. CA e AB sono quindi primi tra loro. Per gli stessi motivi anche AC e CB sono primi tra loro. CA è quindi primo rispetto ad ognuno dei numeri AB e BC.
Siano ora CA e AB primi tra loro: dico che anche AB e BC sono primi tra loro.
Se AB e BC non sono primi tra loro, allora un certo numero D misura AB e BC. Poiché, quindi, D misura ognuno dei numeri AB e BC, allora misura anche CA totale. Ma esso misura AB, pertanto D misura CA e AB che sono primi tra loro, il che è impossibile (Def.7-12).
Pertanto nessun numero misura i numeri AB e BC. AB e BC sono quindi primi tra loro.
Pertanto, se due numeri sono primi tra loro, allora anche la loro somma è primo dell'uno e dell'altro; e, se la somma di due numeri è primo a un certo di essi, allora è primo anche al numero originario.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti CA e AB
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = (AB+BC)/n, con n a piacere
Questa proposizione afferma, ad esempio, che se \(11\) e \(13\) sono primi tra loro, allora anche \(24 = 11+13\) è primo rispetto sia a \(11\) che a \(13\).
La proposizione è utilizzata nel Libro IX.