LIBRO VII
Prop.27: Se due numeri sono primi tra loro, e entrambi moltiplicati per se stessi danno un certo numero, allora i prodotti sono primi tra loro; e, se i numeri originari moltiplicati per i prodotti danno certi numeri, allora anche quelli saranno primi tra loro
Dimostrazione
Siano A e B due numeri primi tra loro, e A moltiplicato per se stesso produca C, e moltiplicato per C produca D, e B moltiplicato per se stesso produca E, e moltiplicato per E produca F: dico che C ed E sono primi tra loro, e che D e F sono primi tra loro.
Poiché A e B sono primi tra loro, e A moltiplicato per se stesso produce C, allora C e B sono primi tra loro (Prop.7-25). Poiché, dunque, C e B sono primi tra loro, e B moltiplicato per se stesso produce E, allora C ed E sono primi tra loro. Di nuovo, poiché A e B sono primi tra loro, e B moltiplicato per se stesso produce E, allora A ed E sono primi tra loro.
Poiché, quindi, i due numeri A e C sono primi rispetto ai due numeri B ed E, entrambi rispetto a uno e all'altro, allora il prodotto tra A e C è primo rispetto al prodotto tra B ed E. E il prodotto tra A e C è D, e il prodotto tra B ed E è F. D ed F sono quindi primi tra loro.
Pertanto, se due numeri sono primi tra loro, e entrambi moltiplicati per se stessi danno un certo numero, allora i prodotti sono primi tra loro; e, se i numeri originari moltiplicati per i prodotti danno certi numeri, allora anche quelli saranno primi tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = AxA, il segmento D = AxC, il segmento E = BxB e il segmento F = BxE
Questa proposizione afferma che se due numeri sono primi tra loro, allora i loro quadrati sono pure primi tra loro. Questa proprietà è estendibile a qualsiasi potenza dei due numeri. Cioè se \(3\) e \(4\) sono primi tra loro, allora \(9 = 3 \times 3\) è primo rispetto a \(16 = 4 \times 4\). Ogni fattore infatti si ripete nei due numeri, e ognuno di essi è primo rispetto al corrispondente fattore dell'altro numero.
La proposizione è utilizzata in due proposizioni del Libro VIII.