LIBRO VII
Prop.25: Se due numeri sono primi tra loro, il prodotto di uno di essi con se stesso è primo rispetto al rimanente
Dimostrazione
Siano A e B due numeri primi tra loro e A moltiplicato per se stesso produca C: dico che anche B e C sono primi tra loro.
Si prenda D uguale ad A.
Poiché A e B sono primi tra loro, e A è uguale a D, allora anche D ed B sono primi tra loro. Ognuno dei due numeri D e A è quindi primo rispetto a B. Pertanto anche il prodotto di D con A è primo rispetto a B (Prop.7-24).
Ma il numero che è il prodotto di D e A è C. Pertanto C e B sono primi tra loro.
Pertanto, se due numeri sono primi tra loro, allora il prodotto di uno di essi con se se stesso è primo rispetto al rimanente.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = A
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = AxA
Questa proposizione è un caso particolare della precedente, dove si considera il prodotto di un numero per se stesso.
La proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.