LIBRO VII
Prop.22: I numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto sono primi tra loro
Dimostrazione
Siano A e B numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto: dico che A e B sono primi tra loro.
Se infatti non sono primi tra loro, allora un certo numero C li misura. E quante volte C misura A, tante unità sono in D, e quante volte C misura B, tante unità siano in E.
Poiché C misura A secondo le unità in D, allora C moltiplicato per D produce A. Per gli stessi motivi C moltiplicato per E produce B. (Def.7-15). Pertanto il numero C moltiplicato per i due numeri D ed E produce A e B; D sta quindi a E come A sta a B (Prop.7-17).
D ed E sono quindi nello stesso rapporto con A e B, essendo minore di essi, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che un numero misuri i numeri A e B. (Prop.7-16).
A e B sono quindi primi tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B sulle due rette
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CD = parti di A
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento EF = uguali parti di B
- Segmento: disegna iil segmento E
Questa proposizione è l'inversa della precedente. Entrambe stabiliscono che un rapporto \(a:b\) è ridotto ai minimi termini se e solo se \(a\) e \(b\) sono primi tra loro.
Questa proposizione è utilizzata nel Libro VIII.