LIBRO VII

Prop.15: Se una unità misura un certo numero, e un altro numero misura un certo altro numero le stesse volte, allora alternando, l'unità misura il terzo numero la stessa quantità di volte che il secondo misura il quarto

Dimostrazione

Un'unità A misuri un certo numero BC, e un altro numero D misuri un certo altro numero EF le stesse volte: dico che anche alternando, l'unità misura il numero D le stesse volte di quelle che BC misura EF.

Poiché l'unità A misura il numero BC le stesse volte con cui D misura EF, allora quante unità sono quindi in BC, tanti numeri sono quindi in anche in EF uguali a D.

Si divida BC nelle unità in esso, BG, GH, HC, e si divida EF in EK, KL, LF uguali a D. Allora la molteplicità di BG, GH, HC è uguale alla molteplicità di EK, KL, LF.

E poiché le unità BG, GH, HC sono uguali tra loro, e anche i numeri EK, KL, LF sono uguali tra loro, mentre la molteplicità delle unità BG, GH, HC è uguale alla molteplicità dei numeri EK, KL, LF, allora l'unità BG sta al numero EK come l'unità GH sta al numero KL, e come l'unità HC sta al numero LF.

Poiché uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedentu sta alla somma dei conseguenti, allora l'unità BG sta al numero EK come BC sta a EF (Prop.7-12). Ma l'unità BG è uguale all'unità A, e il numero EK è uguale al numero D. L'unità A sta quindi al numero D come BC sta a EF. L'unità A misura pertanto il numero D le stesse volte con cui BC misura EF.

Se una unità misura quindi un certo numero, e un altro numero misura un certo altro numero le stesse volte, allora alternando, l'unità misura il terzo numero la stessa quantità di volte che il secondo misura il quarto.

La costruzione con GeoGebra:
  • Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i segmenti
  • Segmento: disegna i segmenti A e D
  • Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento BC = 3A e il segmento EF = 3D

Questa proposizione esprime la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Se un numero \(e = b \times d\), cioè, 1 misura b lo stesso numero di volte che b misura d, allora anche \(e = d \times b\)

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello