LIBRO VI

Prop.29: A una retta data applicare un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data ed eccedente di una figura parallelogrammica simile a una data

Dimostrazione

Sia AB la retta data e C la figura rettilinea data, uguale alla quale si deve applicare quello su AB, quello simile a quello di cui deve eccedere D: si deve pertanto applicare un parallelogrammo uguale alla figura rettilinea C alla retta AB ma che lo eccede di un parallelogrammo simile a D.

Si sechi AB a metà nel punto E (Prop.1-9). Si descriva il parallelogrammo BF su EB simile e similmente posto a D, e si costruisca GH uguale alla somma di BF e C e simile e similmente posto a D (Prop.6-25). Sia KH omologo di FL e KG di FE.

E poiché GH è maggiore di FB, allora anche KH è maggiore di FL, e KG è maggiore di FE. Si prolunghino FL e FE. Si prenda FLM uguale a KH, e FEN uguale a KG. Si completi MN. Allora MN è sia uguale sia simile a GH. Ma GH è simile a EL, anche MN è quindi simile a EL, e pertanto EL è intorno alla stessa diagonale con MN (Prop.6-26).

Si conduca la loro diagonale FO, e si descriva la figura. Poiché GH è uguale alla somma di EL e C, mentre GH è uguale a MN, allora anche MN è uguale alla somma di EL e C. Si sottragga EL da entrambi. Lo gnomone restante XWV è quindi uguale a C.

Di nuovo, poiché AE è uguale a EB, anche AN è quindi uguale a NB, cioè LP (Prop.1-36 e Prop.1-43). Si aggiunga EO ad entrambi. AO totale è quindi uguale allo gnomone VWX. Ma lo gnomone VWX è uguale a C, anche AO è quindi uguale a C. Pertanto il parallelogrammo AO, uguale alla figura rettilinea data C, è stato applicato alla retta data AB ma che lo eccede di un parallelogrammo QP simile a D, poiché anche PQ è simile a EL (Prop.6-24).

<>A una retta data risulta quindi applicato un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data ed eccedente di una figura parallelogrammica simile a una data.

La costruzione con GeoGebra:
  • Segmento: disegna il segmento AB sulla retta AB
  • Punto Medio: segna il punto medio, E, di AB
  • Poligono: disegna il poligono C
  • Parallela: disegna il parallelogrammo D e le parallele a un lato di D per E e B
  • Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro B e raggio proporzionale al rapporto tra i lati di D
  • Parallela: completa il parallelogrammo FB
  • Perpendicolare: disegna le altezze dei tre triangoli in cui è divisibile il poligono C
  • Segmento: disegna il segmento di estremo G sulla retta AB
  • Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro G e raggio al rapporto tra l'area di C e FB e il lato di estremo G. Il raggio di questa circonferenza è l'altezza del parallelogrammo GH
  • Parallela: completa il parallelogrammo GH
  • Compasso: disegna la circonferenza di centro F e raggio uguale a HK che interseca in L e la circonferenza di centro F e raggio GK che interseca in L
  • Parallela: completare i parallelogrammi

La costruzione presente in questa proposizione è utilizzata nella proposizione successiva.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello