LIBRO VI
Prop.15: Nei triangoli uguali che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa; e quei triangoli che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e nei quali i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono uguali
Dimostrazione
Siano ABC e ADE triangoli uguali aventi un solo angolo uguale a un solo angolo, cioè l'angolo BAC uguale all'angolo DAE: dico che nei triangoli ABC e ADE i lati intorno all'angolo uguale sono in relazione inversa, cioè, che CA sta a AD come EA sta a AB.
Sia stato posto così che CA è in linea retta con AD. Anche EA è quindi in linea retta con AB (Prop.1-14).
Poiché dunque il trianfolo ABC è uguale al triangolo ADE, e ABD è un altro triangolo, allora il triangolo ABC sta al triangolo ABD come il triangolo ADE sta al triangolo ABD (Prop.5-7). Ma ABC sta a ABD come AC sta a AD, e ADE sta a ABD come AE sta a AB (Prop.6-1). Anche AC sta quindi a AD come AE sta a AB (Prop.6-11).
Nei triangolo ABC e ADE i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in relazione inversa.
Ma ora siano in relazione inversa i lati dei triangoli ABC e ADE, cioè, AE sta a AB come CA sta a AD: dico che il triangolo ABC è uguale al triangolo ADE.
Congiunto infatti di nuovo BD, poiché AC sta a AD come AE sta a AB, mentre AC sta a AD come il triangolo ABC sta al triangolo ABD, e AE sta a AB come il triangolo ADE sta al triangolo ABD (Prop.6-1), allora il triangolo ABC sta al triangolo ABD come il triangolo ADE sta al triangolo ABD (Prop.6-11).
Entrambi i triangoli ABC e ADE hanno quindi lo stesso rapporto con ABD. Il triangolo ABC è quindi uguale al triangolo ADE (Prop.5-9).
Nei triangoli uguali che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in relazione inversa; e quei triangoli che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e nei quali i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono pertanto uguali.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta BC
- Semiretta: disegna la semiretta BE, con origine in E
- Parallela: disegna la parallela a BC per E
- Semiretta: disegna la semiretta CD con D sulla parallela ED
- Poligono: disegna i triangoli ABC e ADE
- Segmento: congiungi BD
Questa dimostrazione è usata nelle Prop.6-19.