LIBRO V
Prop.5: Se una grandezza è equimultipla di una grandezza quanto una parte sottratta lo è di una parte sottratta, allora anche la restante è equimultipla della restante quanto lo è il totale del totale
Dimostrazione
Sia la grandezza AB equimultipla della grandezza CD come la parte sottratta AE lo è della parte sottratta CF: dico che anche la restante EB è equimultipla della restante FD come AB totale lo è di CD totale.
Si prenda CG tale che EB è equimultiplo di CG come AE di CF.
E poiché AE è equimultiplo di CF come EB lo è di GC, allora AE è equimultiplo di CF come AB lo è di GF (Prop.5-1). Ma è stato supposto che AE è equimultiplo di CF come AB di CD. AB è quindi equimultiplo di ciascuna delle grandezze GF e CD. GF è quindi uguale a CD.
Si sottragga CF da ognuno. GC restante è quindi uguale a FD restante. E poiché AE è equimultiplo di CF come EB di GC, e GC è uguale a DF; AE è quindi equimultiplo di CF come EB di FD. Ma si è supposto che AE sia equimultiplo di CF come AB di CD, EB è quindi equimultiplo di FD come AB di CD. Anche EB restante è equimultiplo di FD restante come AB totale è di CD totale.
Se quindi una grandezza è equimultipla di una grandezza quanto una parte sottratta lo è di una parte sottratta, allora anche la restante è equimultipla della restante quanto lo è il totale del totale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento CD
- Punto: traccia il punto F interno al segmento CD
- Segmento: disegna il segmento FD
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro C e raggio CD che interseca il prolungamento del segmento CD in G
- Punto: traccia il punto A
- Segmento di data lunghezza: disegna il segmento AE uguale a 3CF e EB = 3CD
Questa proposizione è analoga alla Prop.5-1 ma riguarda differenze invece di somme. Stabilisce che la moltiplicazione può essere distribuita sulla differenza di grandezze:
\(m(x-y) = mx-my\)
Questa proposizione non è più usata negli Elementi.