Elementi di Euclide

Prop.17: Se grandezze composte sono in proporzione, allora esse sono in proporzione anche prese separatamente

Dimostrazione

Siano AB, BE, CD, DF grandezze composte in proporzione, così che AB sta a BE come CD sta a DF (Def.5-14): dico che sono proporzionali anche prese separatamente, cioè, AE sta a EB come CF sta a DF (Def.5-15).

Si prendano equimultipli GH, HK, LM, MN di AE, EB, CF, FD, e si prendano altri, come capita, equimultipli, KX e NP di EB e FD.

E poiché GH è equimultiplo di AE come HK lo è di EB, allora GH è equimultiplo di AE come GK è di AB (Prop.5-1). Ma GH è equimultiplo di AE come LM è di CF, pertanto GK è equimultiplo di AB come LM di CF.

Di nuovo, poiché LM è equimultiplo di CF come MN è di FD, allora LM è equimultiplo di CF come LN è di CD (Prop.5-1). Ma LM era equimultiplo di CF come GK di AB, pertanto GK è equimultiplo di AB come LN di CD. GK e LN sono quindi equimultipli di AB e CD.

Di nuovo, poiché HK è equimultiplo di EB come MN di FD, e anche KO è equimultiplo di EB come NP di FD, allora la somma HO è pure equimultipla di EB come MP è di FD (Prop.5-2).

E poiché AB sta a BE come CD sta a DF, e risultano presi di AB e CD equimultipli GK e LN, e di EB e FD equimultipli HX e MP, allora, se GK eccede HX, anche LN eccede MP; se uguale, uguale; se minore, minore.

GK ecceda HO. Si sottragga HK da ognuno. Anche GH eccede quindi KX. Ma se GK eccedeva HO, allora anche LN eccedeva MP, pertanto anche LN eccede MP, e, se MN è sottratto da ognuno, allora anche LM eccede NP, così come, se GH eccede KO, allora anche LM eccede NP.

Analogamente si può dimostrare che, se GH è uguale a KO, allora anche LM è uguale a NP; e se minore, minore. E GH e LM sono equimultipli di AE e CF, mentre KO e NP sono altri, come capita, equimultipli di EB e FD; AE sta quindi a EB come CF sta a FD (Def.5-5).

Se quindi grandezze composte sono in proporzione, allora esse sono in proporzione anche prese separatamente.

• Segmento: disegna i segmenti AB, EB, CF
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FD = CDxEBC/AB
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti GH = 3AB, HK = 3EB, LM = 3CD, MN = 3FD
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti KX = 2EB, NP = 2FD