Elementi di Euclide

Prop.11: Nel cerchio dato inscrivere un pentagono sia equilatero che equiangolo

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABCDE: nel cerchio ABCDE si deve pertanto inscrivere un pentagono sia equilatero che equiangolo.

Si fissi un triangolo isoscele FGH avente ciascuno degli angoli in G e H doppi dell'angolo in F (Prop.4-10). Si inscriva nel cerchio ABCDE il triangolo ACD equiangolo al triangolo FGH (Prop.4-2), così che gli angoli CAD, ACD, CDA siano uguali rispettivamente agli angoli in F, G, H. Pertanto ognuno degli angoli ACD e CDA è anche doppio dell'angolo CAD.

Si sechino a metà gli angoli ACD e CDA rispettivamente con le rette CE e DB (Prop.1-9), e si congiungano AB, BC, DE, EA.

E poiché ognuno degli angoli ACD e CDA è doppio dell'angolo CAD, ed essi sono secati a metà dalle rette CE e DB, allora i cinque angoli DAC, ACE, ECD, CDB, BDA sono uguali tra loro. Ma angoli uguali insistono su archi uguali, i cinque archi AB, BC, CD, DE, EA sono quindi uguali tra loro (Prop.3-26). E sotto archi uguali si tendono rette uguali (Prop.3-29); le cinque rette AB, BC, CD, DE, EA sono quindi uguali tra loro: il pentagono ABCDE è quindi equilatero.

Dico ora che è anche equiangolo.

Poiché infatti l'arco AB è uguale all'arco DE, si aggiunga BCD ad entrambi; l'arco totale ABCD è quindi uguale all'arco totale EDCB. E l'angolo AED insiste sull'arco ABCD, e l'angolo BAE sull'arco EDCB (Prop.3-27), pertanto anche l'angolo BAE è uguale all'angolo AED.

Per gli stessi motivi ognuno degli angoli ABC, BCD, CDE è pure uguale a ognuno degli angoli BAE e AED; il pentagono ABCDE è quindi equiangolo. Ma è stato dimostrato essere anche equilatero.

Nel cerchio dato risulta quindi inscritto un pentagono sia equilatero sia equiangolo.

La costruzione con GeoGebra:

• La prima parte ripete la costruzione della Prop.4-10 per ottenere il triangolo isoscele
• Circonferenza: disegna la circonferenza ABCDE
• costruzione del triangolo inscritto equiangolo
  • Tangente: disegna la tangente in C
  • Angolo di data ampiezza: trasporta gli angoli in F e G
  • Segmento: disegna le corde CD e AD
• Bisettrice: disegna le bisettrici degli angoli ACD e ADC che intersecano la circonferenza rispettivamente in B e E
• Poligono regolare: disegna il pentagono ABCDE inscritto

Questa costruzione è utilizzata nella proposizione successiva per circoscrivere un pentagolo regolare e nella Prop.4-16 per costruire poligoni regolari a 15 lati. Viene poi usata nel Libro XIII per costruire un icosaedro (un poliedro con 20 facce formate tutte da triangoli equilateri).