LIBRO IV
Prop.1: Nel cerchio dato adattare una retta uguale alla retta data, che non è maggiore del diametro del cerchio
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABC e la retta D non maggiore del diametro del cerchio: si deve pertanto adattare nel cerchio ABC una retta uguale alla retta D.
Si conduca un diametro BC del cerchio ABC. Se BC è uguale a D, allora risulta quanto richiesto, essendo stato infatti BC adattato nel cerchio ABC uguale alla retta D.
Ma, se BC è maggiore di D, si prenda CD uguale a D (Prop.1-3) e si descriva il cerchio EAF di centro C e raggio CE e si congiunga CA.
Poiché il punto C è il centro del cerchio EAF, CA è uguale a CE. Ma CE è uguale a D; anche D è quindi uguale a CA.
Nel cerchio dato ABC risulta quindi adattata una retta CA uguale alla retta data D.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna il cerchio ABC
- Segmento: disegna il diametro BC
- Segmento di data lunghezza: disegna un segmento uguale al diametro e su tale segmento segna un punto e congiungilo con un estremo del segmento: questo sarà il segmento D, minore del diametro
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C e raggio D; essa interseca la prima circonferenza in A e il diametro BC in E
- Segmento: disegna il segmento AC
L'ipotesi che la retta da adattare nel cerchio non sia maggiore di un diametro del cerchio è certamente necessaria, ma Euclide non ne mostra la sufficienza. Non si dimostra che i due cerchi si intersecano in un punto.
La proposizione è utilizzata nelle proposizioni Prop.4-10 e Prop.4-16.