LIBRO III
Prop.18: Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal centro al punto di tangenza sia congiunta un certa retta, la retta congiunta sarà perpendicolare a quella tangente
Dimostrazione
Sia la retta AE tangente al cerchio ABC nel punto C. Si prenda il centro F del cerchio (Prop.3-1), e si congiunga FC: dico che FC è perpendicolare a DE.
Se infatti no, si conduca FG da F perpendicolare a DE (Prop.1-12).
Poiché l'angolo FGC è retto, l'angolo FCG è acuto (Prop.1-17), e il lato opposto all'angolo maggiore è il maggiore (Prop.1-19), FC è quindi maggiore di FG. Ma FC è uguale a FB, pertanto anche FB è maggiore di FG, il minore del maggiore, il che è impossibile. Pertanto FG non è perpendicolare a DE.
Analogamente si dimostra che neanche un'altra retta all'infuori di FC: FC è quindi perpendicolare a DE.
Qualora quindi una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal centro al punto di tangenza sia congiunta un certa retta, la retta congiunta sarà perpendicolare a quella tangente.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro F
- Punto: traccia un punto C sulla circonferenza
- Tangente: disegna la tangente DE alla circonferenza in C
- Punto: traccia un punto G sulla retta DE
- Segmento: disegna i segmenti FC e FG che incontra la circonferenza in B
Questa proposizione è usata in alcune proposizioni dei Libri III e IV.