LIBRO III
Prop.14: In un cerchio le rette uguali distano ugualmente dal centro, e quelle che distano ugualmente dal centro sono uguali tra loro
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD e in esso siano date due rette uguali AB e CD: dico che AB e CD distano ugualmente dal centro.
Si prenda il centro E del cerchio ABCD (Prop.3-1). Si conducano EF e EG da E perpendicolari ad AB e CD (Prop.1-12), si congiungano AE e EC.
Poiché una retta EF passante per il centro seca ad angoli retti una certa retta AB non pasante per il centro, essa li seca anche a metà (Prop.3-3). Pertanto AF è uguale a FB. AB è quindi doppio di AF. Per gli stessi motivi anche CD è doppio di CG. Ma AB è uguale a CD, AF è quindi uguale a CG.
E poiché AE è uguale a EC, anche il quadrato su AE è uguale al quadrato su EC. Ma la somnma dei quadrati su AF e EF è uguale al quadrato su AE, l'angolo F è infatti retto, e la somma dei quadrati su EG e GC è uguale al quadrato su EC, l'angolo G è infatti retto (Prop.1-47). Pertanto la somma dei quadrati su AF e FE è uguale alla somma dei quadrati su CG e GE, il quadrato su AF è infatti uguale al quadrato su CG, AF è quindi uguale a CG. Il quadrato restante FE è quindi uguale al quadrato EG. EF è quindi uguale a EG.
Ma rette in un cerchio sono dette essere ugualmente distanti dal centro quando le perpendicolari condotte ad esse dal centro sono uguali. AB e CD sono quindi ugualmente distanti dal centro.
Ora siano le rette AB e CD ugualmente distanti dal centro, cioè sia EF uguale a EG. Dico che anche AB è uguale a CD.
Effettuate infatti le stesse costruzioni, si dimostra, come prima, che AB è doppio di AF, e CD è doppio di CG. E poiché AE è uguale a CE, il quadrato su AE è uguale al quadrato su CE. Ma la somma dei quadrati su EF e FA è uguale al quadrato su AE, e la somma dei quadrati su EG e GC è uguale al quadrato su CE (Prop.1-47).
Pertanto la somma dei quadrati su EF e FA è uguale alla somma dei quadrati su EG e GC, dei quali il quadrato su EF è uguale al quadrato su EG, EF è infatti uguale a EG. Il quadrato restante su AF è quindi uguale al quadrato su CG. AF è quindi uguale a CG. E AB è doppio di AF, e CD è doppio di CG; AB è quindi uguale a CD.
In un cerchio le rette uguali distano quindi ugualmente dal centro, e quelle che distano ugualmente dal centro sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABCD di centro E
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare da E ad AB, che interseca il segmento in F
- Segmento: disegna il segmento AF
- Semiretta: disegna una semiretta di origine E dalla parte opposta di AB rispetto ad E
- Circonferenza: disegna la circonferenza di raggio EF e centro E, che interseca la semiretta in G
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla semiretta passante per G, che interseca la circonferenza in C e D
- Segmento: disegna i segmenti CD, EG, EA, EC
Questa proposizione è utilizzata nella dimostrazione successiva.