LIBRO XIII
Prop.4: Se un segmento è secato nel rapporto estremo e medio, allora la somma dei quadrati sul totale e sul segmento minore è tripla del quadrato sul segmento maggiore
Dimostrazione
Sia AB una secata nel rapporto estremo e medio nel punto C e sia AC il segmento maggiore: dico che la somma dei quadrati su AB e BC è tripla del quadrato su CA.
Si costruisca il quadrato ADEB su AB e si tracci completamente la figura (Def.1-46). Poiché quindi AB è secata nel rapporto estremo e medio in C, e AC è il segmento maggiore, allora il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AC (Prop.6-17). Ma AK è il rettangolo AB per BC, e HG è il quadrato su AC, pertanto AK è uguale a HG.
E poiché AF è uguale a FE, si aggiunga CK ad ognuno, pertanto AK totale è uguale a CE totale. La somma di AK e CE è quindi doppia di AK. Ma la somma di AK e CE è la somma dello gnomone LMN e del quadrato CK, pertanto la somma dello gnomone LMN e del quadrato CK è doppia di AK.
Ma, inoltre, anche AK è stato dimostrato uguale a HG, pertanto la somma dello gnomone LMN e dei quadrati CK e HG è tripla del quadrato su HG. E la somma dello gnomone LMN e dei quadrati CK e HG è la somma del quadrato AE totale e di CK, che sono i quadrati su AB e BC, e HG è il quadrato su AC. La somma dei quadrati su AB e BC è quindi tripla del quadrato su AC.
.La costruzione con GeoGebra:
- per la divisione del segmento si fa riferimento alla costruzione della Prop.6-30
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato su AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in C
- Poligono regolare: disegna il quadrato AE
- Segmento: disegna la diagonale del quadrato
- Parallela: disegna la parallela per C a BE, che interseca la diagonale in F e per F la parallela a AB
Questa e le prossime tre sono tutte preparatorie alla costruzione di un dodecaedro nella proposition XIII.17.