LIBRO XI
Prop.17: Se due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti
Dimostrazione
Due rette AB, CD siano secate da piani paralleli GH, KL, MN nei punti A, E, B, C, F, D: dico che la retta AE sta a EB come CF sta a FD.
Si congiunga AC, BD, AD. E AD incontri il piano KL nel punto O. Si congiunga EO e FO.
E poiché i due piani paralleli KL e MN sono secati dal piano EBDO, allora le loro intersezioni EO e BD sono parallele (Prop.11-16). Per gli stessi motivi, poiché i due piani paralleli GH e KL sono secati dal piano AOFC, le loro intersezioni AC e OF sono parallele.
E poiché la retta EO è condotta parallela a uno solo dei lati del triangolo ABD, allora in proporzione AE sta a EB come AO sta a OD. Di nuovo, poiché la retta FO è parallela a CA, uno dei lati del triangolo ADC, allora in proporzione AO sta a OD come CF sta a FD (Prop.6-2).
Ma è stato dimostrato che AO sta a OD come AE sta a EB, pertanto AE sta a EB come CF sta a FD.
Se quindi due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Traslazione: disegna il secondo e il terzo piano con un vettore in verso opposto
- Segmento: disegna il segmento AC nel piano GH e BD nel piano MN
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD, che intersecano in E e F il piano KL
- Segmento: disegna il segmento AD
- Parallela: disegna il segmento OE parallelo a AB e il segmento EF parallelo a AC
Questa proposizione è usata nella dimostrazione della Prop 12-4.