LIBRO X
Prop.5: Grandezze commensurabili tra loro hanno rapporto come di un numero rispetto a un numero
Dimostrazione
Siano A, B grandezze commensurabili: dico che A ha con B il rapporto che un numero ha con un numero.
Poiché A e B sono commensurabili, una certa grandezza C le misura. E quante volte C misura A, tante unità sono in D, e quante volte C misura B, tante unità sono in E.
Poiché C misura A secondo le unità in D, e anche l'unità misura D secondo le unità in essa, allora l'unità misura il numero D e la grandezza C misura A le stesse volte (Def.7-20). C sta quindi ad A come l'unità sta a D. Invertendo, quindi, A sta a C come D sta all'unità (Prop.5-7).
Di nuovo, poiché C misura B secondo le unità in E, e anche l'unità misura E secondo le unità in essa, allora l'unità misura E e C misura B lo stesso numero di volte. C sta quindi a B come l'unità sta ad E.
Ma è stato dimostrato che A sta a C come D sta all'unità, pertanto, tramite uguale, A sta a B come il numero D sta a E (Prop.5-22).
Le grandezze commensurabili A e B hanno quindi una rispetto all'altra il rapporto che il numero D ha con il numero E.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- strumento Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti D = A/C; E = B/C
In linguaggio algebrico, questa proposizione esprime la proprietà:
se \(A = mC\) e \(B = nC\), allora \(A:B = m:n\) cioè il rapporto tra due grandezze commensurabili è espresso da un numero razionale.