LIBRO X
Prop.40: Se si sommano due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo contenuto da esse razionale, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata il lato di un razionale più un'area mediale
Dimostrazione
Siano composte due rette in incommensurabili in potenza AB e BC che soddisfano le condizioni date (Prop.10-34): dico che AC è irrazionale.
Poiché la somma dei quadrati su AB e BC è mediale, mentre il doppio del rettangolo AB per BC è razionale, allora la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC, così che anche il quadrato su AC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC (Prop.10-16).
Ma il doppio del rettangolo AB per BC è razionale, il quadrato su AC è quindi irrazionale. AC è quindi irrazionale (Def.10-4). Sia chiamato il lato di un razionale più un'area mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti