LIBRO X
Prop.4: Trovare la massima misura comune di tre grandezze commensurabili date
Dimostrazione
Siano le tre grandezze commensurabili A, B, C: si deve pertanto trovare la massima misura comune di A, B, C.
Si prenda la massima misura comune D delle due grandezze A, B (Prop.10-3). D quindi o misura C, o non lo misura.
In primo luogo, la misuri.
Poiché quindi D misura C, e misura anche A e B, allora D è la misura comune di A, B, C. Ed è manifesto che è anche la massima, una grandezza maggiore della grandezza D non misura infatti A, B.
Ora, D non misuri C. Dico in primo luogo che C e D sono commensurabile.
Poiché A, B, C sono commensurabili, una certa grandezza li misura, e questa naturalmente misura anche A, B, così che misura anche la massima misura comune di A e B, cioè D (Prop.10-3-Cor). Ma misura anche C, così che la detta grandezza misura C e D; pertanto C e D sono commensurabili.
Si prenda la loro massima misura comune E (Prop.10-3).
Poiché E misura D, ma D misura A, B, allora E misura anche A, B. Ma misura anche C, pertanto E misura A, B, C. E è quindi la misura comune di A, B, C.
Dico ora che è anche la massima.
Se infatti possibile, sia una certa grandezza F maggiore di E, e misuri A, B, C.
E poiché F misura A, B, C, misura anche A, B, e misura quindi la massima misura comune di A e B (Prop.10-3-Cor). Ma la massima misura comune di A, B è D, pertanto F misura D. Ma misura anche C, pertanto F misura C e D. Allora F misura anche la massima misura comune di C, D. Ma questa è E, pertanto F misura E, il maggiore il minore, il che è impossibile (Prop.10-3-Cor).
Nessuna grandezza maggiore della grandezza E misura A, B, C. Quindi E è la massima misura comune di A, B, C se D non misura C, ma se la misura, allora D è essa stessa la massima misura comune.
Corollario: Date tre grandezze incommensurabili risulta quindi trovata la loro massima misura comune.
Da ciò è manifesto che, se una grandezza misura tre grandezze, allora misura anche la loro massima grandezza comune. Analogamente si può trovare la massima misura comune per più grandezze, e il corollario si può estendere.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D, E, F
Questa proposizione, comprensiva del suo corollario, è analoga alla Prop.7-3.