LIBRO X
Prop.34: Trovare due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo da esse contenuto razionale
Dimostrazione
Siano fissate due rette mediali AB, BC, commensurabili soltanto in potenza, tali che il rettangolo che esse contengono sia razionale e il quadrato su AB sia maggiore del quadrato su BC per il quadrato su una retta incommensurabile con AB (Prop.10-31).
Si descriva il semicerchio ADB su AB. Si applichi un parallelogrammo ad AB uguale al quadrato su BE e facente difetto per una figura quadrata, cioè il rettangolo AF per FB (Prop.6-28). Allora AF è incommensurabile in lungheza con FB (Prop.10-18).
Si tracci FD da F ad angoli retti ad AB, e si congiungano AD e DB.
Poiché AF è incommensurabile in lunghezza con FB, allora anche il rettangolo BA per AF è incommensurabile con il rettangolo AB per BF (Prop.10-11). Ma il rettangolo BA per AF è uguale al quadrato su AD, e il rettangolo AB per BF è uguale al quadrato su DB, pertanto anche il quadrato su AD è incommensurabile con il quadrato su DB.
E poiché il quadrato su AB è mediale (Prop.3-31), allora anche la somma dei quadrati su AD e DB è mediale (Prop.1-47). E poiché BC è doppio di DF, allora anche il rettangolo AB per BC è doppio del rettangolo AB per FD.
Ma il rettangolo AB per BC è razionale, pertanto anche il rettangolo AB per FD è razionale (Prop.10-6). Ma il rettangolo AB per FD è uguale al rettangolo AD per DB, cos&ì che anche il rettangolo AD per DB è razionale.
Risultano quindi trovate due rette incommensurabili soltanto in potenza AD, DB che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo da esse contenuto razionale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti
- Punto Medio: traccia il punto medio D di BC
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza di diametro AB
- Punto: traccia il punto E sul segmento AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a BA passante per E, che interseca la semicirconferenza in F
- Poligono: disegna il triangolo ABF