LIBRO X
Prop.13: Se due grandezze sono commensurabili, e una di esse è incommensurabile con con una certa grandezza, allora anche la restante è incommensurabile con la stessa
Dimostrazione
Siano A, B due grandezze commensurabili, e una di esse, A, sia incommensurabile con una altra grandezza C: dico che anche la restante, B, è incommensurabile con C.
Se B è commensurabile con C, ma anche A è commensurabile con B, allora anche A è commensurabile con C (Prop.10-12).
Ma è anche incommensurabile con essa, il che è impossibile. B non è quindi commensurabile con C: è quindi incommensurabile con essa.
Se due grandezze sono quindi commensurabili, e una di esse è incommensurabile con con una certa grandezza, allora anche la restante è incommensurabile con la stessa.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C