Gli "Elementi" di Euclide

Nozioni Comuni


Queste nozioni comuni, a volte dette assiomi, si riferiscono a grandezze omogenee. I vari tipi di grandezze presenti negli Elementi includono linee, angoli, figure piane e solide. La prima Nozione Comune può essere applicata per affermare che, se un triangolo è uguale a un rettangolo, e il rettangolo è uguale a un quadrato, allora il triangolo è uguale al quadrato. Grandezze omogenee possono essere confrontate e sommate, ma grandezze di tipo diverso no.
Nella matematica moderna, assiomi come questi sono la base di un'algebra astratta. La loro presentazione è solitamente data nell'ambito della teoria degli insiemi.

 

NC 1: Gli uguali allo stesso sono uguali tra loro
   
NC 2: E qualora a uguali siano sommati uguali, i totali sono uguali
 

 

NC 3: E qualora da uguali siano sottratti uguali, i resti sono uguali
   
NC 4: E le cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali
  Questa nozione comune potrebbe essere interpretata come se due cose sono identiche, allora sono uguali, cioè, ogni cosa è uguale a se stessa. Il modo in cui viene però solitamente interpretata è una giustificazione del principio di sovrapposizion, che è usato nella dimostrazione di congruenza di due triangoli. In tal modo, se una cosa può essere mossa in modo da coincidere con un'altra, allora entrambe sono uguali.
NC 5: E il tutto è maggiore della parte
 

Questa nozione comune può essere interpretata come una definizione del significato di maggioranza. Per dire che B è una parte di A, si può dire che esiste C tale che B+C è uguale ad A. Simbolicamente, A > B significa che esiste un C tale che A = B + C.