Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IX

 

PROPOSIZIONE 1

Prop.1: Se due numeri piani simili moltiplicati tra loro producono un certo numero, allora quello che risulta è un quadrato
Dimostrazione
 

Siano A e B due numeri piani simili, e A moltiplicato per B produca C: dico che C è un quadrato.

A moltiplicato per se stesso produca D. Allora D è quadrato.

Poiché dunque A moltiplicato per se stesso produce D, e moltiplicato per B produce C, allora A sta a B come D sta a C (Prop.7-17). E poiché A e B sono numeri piani simili, allora un medio proporzionale cade tra A e B (Prop.8.18).

E se tra due numeri cadono numeri in proporzione continua, quanti cadono tra esse, tanti cadono anche tra quelli che hanno lo stesso rapporto, pertanto un medio proporzionale cade anche tra D e C (Prop.8-8).

Ma D è quadrato, pertanto anche C è quadrato (Prop.8.22).

   

.

La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A e B
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = AxB; D = AxA

 

Questa proposizione, pur appartenendo ad un diverso libro, è la continuazione di quelle del Libro VIII.

Consideriamo due numeri piani simili (quando cioè sono ottenuti moltiplicando tra loro due numeri) a = 18 e b = 8. Dalla Prop.8-18, è possibile trovare un medio proporzionale tra di essi, e sia in questo caso 12. Se calcoliamo il quadrato di 12 otteniamo 144, così come il prodotto tra i due numeri piani, cioè ab = 18x8 = 144.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro X.